forum.zadania.info

W dostawie 150 worków orzechów z Turcji znajduje się 5 worków z zepsutymi orzechami,
tak samo jak w dostawie 250 worków orzechów z Meksyku.
(a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany worek ze wszystkich dostarczonych zawiera zepsute orzechy?
(b) Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania worka zawierającego zepsute orzechy, jeżeli najpierw losowo wybieramy dostawę a dopiero z niej losowo wybieramy worek? (Wylosowanie
dostawy są jednakowo prawdopodobne)

https://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=39&t=101370

Pozdrawiam

\( T \) - losowo wybrany worek pochodzi z Turcji.

\( M\) - losowo wybrany worek pochodzi z Meksyku.

\( Z \) - losowo wybrany worek z wszystkich dostarczonych zawiera zepsute orzechy

Z treści zadania

a)
\( P(Z) = \frac{5+5}{150+250} = \frac{10}{400} = \frac{1}{40}.\)

b)
Z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym (zupełnym)

\( P(Z) = P(T) \cdot P(Z|T) + P(M)\cdot P(Z|M) \)

\( P(T) = \frac{5}{150} = \frac{1}{30}\)

\( P(M) = \frac{5}{250} =\frac{1}{50}.\)

\( P(Z| T) = \frac{150}{150+250} = \frac{150}{400} = \frac{3}{8}.\)

\( PZ|M) = \frac{250}{150+250} = \frac{250}{400}= \frac{5}{8}\)

\( P(Z) = \frac{1}{30}\cdot \frac{3}{8} + \frac{1}{50} \cdot \frac{5}{8} = \frac{3}{240} + \frac{5}{400}= \frac{1}{80} + \frac{1}{80} = \frac{2}{80}=\frac{1}{40}.\)
a)
Losowo wybierając worek możemy spodziewać się, że w \( 2,5\%\) wszystkich przypadków wybierzemy worek z zepsutymi orzechami.

b)
Jeśli najpierw losujemy dostawę, a w niej worek z orzechami to możemy oczekiwać, że w \( 2,5\%\) wszystkich losowań - wylosujemy worek z zepsutymi orzechami.

Jaki wniosek?
Sposób losowań worków z orzechami nie ma wpływu na prawdopodobieństwo wylosowania worka z zepsutymi orzechami.