forum.zadania.info

Z punktu \(A=(- \frac{9}{2},\frac{9}{2}) \) poprowadzono styczne do okręgu \((x+2)^2+(y+3)^2=50\). Oblicz pole trójkąta ABC, gdy B, C są punktami styczności tych prostych z okręgiem.

Policzyłam równania stycznych, rozwiązałam układy z tych równań i równania okręgu, wyliczyłam współrzędne B i C i pole trójkąta. Ale się strasznie naliczyłam . Można szybciej?

Wg mnie: ponieważ odległość danego punktu od środka okręgu jest równa \({5\sqrt{10}\over2}\), to długość odcinków stycznych jest równa \(\sqrt{\left({5\sqrt{10}\over2}\right)^2-\sqrt{50}^2}={5\sqrt2\over2}\) i żeby wyznaczyć punkty styczności wystarczy rozwiązać układ:
\[\begin{cases}(x+2)^2+(y+3)^2=\sqrt{50}^2\\ \left(x+{9\over2}\right)^2+\left(y-{9\over2}\right)^2=\left({5\sqrt2\over2}\right)^2\end{cases}\]
Pozdrawiam

Drugi sposób

Oznaczmy współrzędne na przykład punktu styczności B przez \( (x,y) \) opuszczamy indeks B.

Z prostopadłości w punkcie styczności wektora promienia okręgu i wektora stycznego

\( (x+2)\left(x + \frac{9}{2}\right) + (y+3)\left(y - \frac{9}{2}\right) = 0 \ \ (1) \)

Z odległości punktu \( (x,y) \) od środka okręgu

\( (x+2)^2 + (y+3)^2 = 50 \ \ (2)\)

Rozwiązując układ równań \( (1), (2) \), otrzymujemy współrzędne punktów styczności \( B(-7, 2) \ \ C(-1, 4).\)

Obliczamy pole trójkąta ABC metodą wyznacznikową

Współrzędne wektorów rozpinających równoległobok \( \vec{AB} = \left[ -\frac{5}{2}, -\frac{5}{2}\right], \ \ \vec{AC} = \left[\frac{7}{2}, -\frac{1}{2}\right].\)

\( P_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \left| \left|\begin{matrix}-\frac{5}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{7}{2} & -\frac{1}{2} \end{matrix} \right| \right| = \frac{1}{2}\left(\frac{5}{4}+ \frac{35}{4}\right) = \frac{1}{2}\cdot \frac{40}{4} = 5.\)