Ciągi

[NRD_K]

długości boków trójkata prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny.Oblicz obwód tego trójkata,jeżeli jego pole jest równe 300

[Jerry]

Trójkąty podobne do trójkąta egipskiego (o bokach \(3,\ 4, \ 5\)) jako jedyne spełniają warunek ciągu arytmetycznego długości boków. Zatem...
\[{1\over2}\cdot3x\cdot4x=300\So 3x+4x+5x=\ldots\]
Pozdrawiam

[janusz55]

Czy to jest trójkąt egipski, czy nie jest egipski, czy w skali 1: 60 - uczeń tego może nie wiedzieć. Po co mu takie wiadomości?

Ale żeby rozwiązać to zadanie - musi znać pojęcie ciągu arytmetycznego, wzór Pitagorasa oraz wzór na pole trójkąta.

Boki trójkąta \( a, b, c \) tworzą ciąg arytmetyczny:

\( a , b = a + r, \ \ c = a+2r \)

Ze wzoru Pitagorasa:

\( a^2 + (a+r)^2 = (a+2r)^2 \)

\( \frac{1}{2}a\cdot (a+r) = 300 \)

Wyznaczając z drugiego równania \( (a+r) = \frac{600}{a} \) i wstawiając do równania pierwszego

\( a^2 + \frac{600^2}{a^2} = \left( \frac{1200}{a} - a\right)^2 \)

Rozwiązaniem dodatnim tego równania jest \( a = 15\sqrt{2}. \)

Z drugiego równania \( r = \frac{600}{a} - a = \frac{600}{15\sqrt{2}} = \frac{40}{\sqrt{2}} - 15\sqrt{2} = 20\sqrt{2} - 15\sqrt{2} = 5\sqrt{2}.\)

Boki trójkąta:

\( a = 15\sqrt{2}, \ \ b = 15\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}, \ \ c = 20\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 25\sqrt{2}.\)

Obwód trójkąta:

\( O = a+b+c = 15\sqrt{2} + 20\sqrt{2} + 25\sqrt{2} = 60\sqrt{2}. \)