Operacje na liczbach zespolonych

[Croquette]

Korzystając z operacji na liczbach zespolonych, wyprowadzić wzory na \(cos( \alpha + \beta + \gamma )\) oraz \(sin( \alpha + \beta + \gamma )\), wyrażone przez funkcje trygonometryczne sin oraz cos argumentów \(\alpha + \beta + \gamma. \)

Znalazłem ten temat: https://forum.zadania.info/viewtopic.php?t=101253 i spróbowałem zrobić jak tam było przedstawione, otrzymałem informację, że niepoprawnie rozwiązałem zadania. Moje odpowiedzi nie zgadzają się z treścią zadania. Dzięki za wytłumaczenie i rozwiązanie tego zadania

[janusz55]

Ze wzoru Eulera

\( e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta} \cdot e^{i\gamma} = e^{i(\alpha + \beta +\gamma)} = [\cos(\alpha) + i\sin(\alpha)][\cos(\beta) +i\sin(\beta)][\cos(\gamma) + i\sin(\gamma)] = \ \ ... \)

Proszę to wymnożyć, pamiętając, że \( i^2 = -1\) i wyodrębniżć część \( \mathcal{Re} \) i \( \mathcal{Im} \) tego potrójnego iloczynu.

[Croquette]

Zrobiłem to Wzorem Eulera i wyszło mi to

\(e^{i \alpha} \cdot e^{i \beta} \cdot e^{i \gamma } = e^{ \alpha + \beta + \gamma } = [cos( \alpha ) + isin( \alpha )][cos( \beta ) + isin( \beta )][cos( \gamma ) + isin( \gamma )] =\)

\[[cos( \alpha )cos( \beta ) + icos( \alpha )sin( \beta ) + isin( \alpha )cos( \beta ) - sin( \alpha )sin( \beta )][cos( \gamma ) + isin( \gamma )] =\\ [cos( \alpha )cos( \beta )cos( \gamma ) + icos( \alpha )sin( \beta )cos( \gamma ) + isin( \alpha )cos( \beta )cos( \gamma ) - sin( \alpha )sin( \beta )cos( \gamma ) +\\ icos( \alpha )cos( \beta )sin( \gamma ) - cos( \alpha )sin( \beta )sin( \gamma ) - sin( \alpha )cos( \beta )sin( \gamma ) - isin( \alpha )sin( \beta )sin( \gamma )] =\]

\[cos( \alpha )cos( \beta )cos( \gamma ) - sin( \alpha )sin( \beta )cos( \gamma ) - cos( \alpha )sin( \beta )sin( \gamma ) - sin( \alpha )cos( \beta )sin( \gamma ) +\\ i[cos( \alpha )sin( \beta )cos( \gamma ) + sin( \alpha )cos( \beta )cos( \gamma ) + cos( \alpha )cos( \beta )sin( \gamma ) - sin( \alpha )sin( \beta )sin( \gamma )]\]

Wyodrębniam część \(Re\ \ i\ \ Im\) i mam moje odpowiedzi

\(Re = cos( \alpha )cos( \beta )cos( \gamma ) - sin( \alpha )sin( \beta )cos( \gamma ) - cos( \alpha )sin( \beta )sin( \gamma ) - sin( \alpha )cos( \beta )sin( \gamma ) \iff cos( \alpha + \beta + \gamma )\\
\\ Im = cos( \alpha )sin( \beta )cos( \gamma ) + sin( \alpha )cos( \beta )cos( \gamma ) + cos( \alpha )cos( \beta )sin( \gamma ) - sin( \alpha )sin( \beta )sin( \gamma ) \iff sin( \alpha + \beta + \gamma )\)

PS.

Poszukałem jeszcze jakieś informacje w internecie i coś takiego znalazłem na zagranicznych stronach (za miast używać wzoru Eulera)

\(cos( \alpha + \beta + \gamma ) = cos(( \alpha + \beta ) + \gamma ) = cos( \alpha + \beta )cos( \gamma ) - sin( \alpha + \beta )sin( \gamma ) =\\ (cos( \alpha )cos( \beta ) - sin( \alpha )sin( \beta ))cos( \gamma ) - (sin( \alpha )cos( \beta ) + cos( \alpha )sin( \beta ))sin( \gamma ) =\\ cos( \alpha )cos( \beta )cos( \gamma ) - sin( \alpha )sin( \beta )cos( \gamma ) - sin( \alpha )cos( \beta )sin( \gamma ) - cos( \alpha )sin( \beta )sin( \gamma )\)

\(sin( \alpha + \beta + \gamma ) = sin(( \alpha + \beta ) + \gamma ) = sin( \alpha + \beta )cos( \gamma ) + cos( \alpha + \beta )sin( \gamma ) =\\ [sin( \alpha )cos( \beta ) + cos( \alpha )sin( \beta )]cos( \gamma ) + [cos( \alpha )cos( \beta ) - sin( \alpha )sin( \beta )]sin( \gamma ) =\\
sin( \alpha )cos( \beta )cos( \gamma ) + cos( \alpha )sin( \beta )cos( \gamma ) + cos( \alpha )cos( \beta )sin( \gamma ) - sin( \alpha )sin( \beta )sin( \gamma )\)

Czyli defakto takie odpowiedzi wyszly mi
\(cos( \alpha + \beta + \gamma ) = cos( \alpha )cos( \beta )cos( \gamma ) - sin( \alpha )sin( \beta )cos( \gamma ) - sin( \alpha )cos( \beta )sin( \gamma ) - cos( \alpha )sin( \beta )sin( \gamma )\\ sin( \alpha + \beta + \gamma ) = sin( \alpha )cos( \beta )cos( \gamma ) + cos( \alpha )sin( \beta )cos( \gamma ) + cos( \alpha )cos( \beta )sin( \gamma ) - sin( \alpha )sin( \beta )sin( \gamma )\)

W drugim wykorzystałem wzory funkcji trygonometrycznych, ale nie wiem czy to jest poprawne. Proszę o komentarz Panie Januszu

[janusz55]

Ta druga to jest metoda trygonometryczna (łączenia argumentów). Nie korzysta się w niej z analizy zespolonej.