dowody matematyczne

[kkurpias74]

Dana jest liczba rzeczywista \(a\) taka, ze \(a^2-a\) oraz \(a^3+a\) są wymierne. Udowodnij, że liczba \(a\) jest wymierna.

[kerajs]

Dana jest liczba rzeczywista \(a\) taka, ze \(a^2-a\) oraz \(a^3+a\) są wymierne. Udowodnij, że liczba \(a\) jest wymierna.

Niech \(a^2-a=w_1\) oraz \(a^3+a=w_2\)
\(a(a^2)+a=w_2\\
a(a+w_1)+a=w_2\\
a^2+a(w_1+1)=w_2\\
a+w_1+a(w_1+1)=w_2\\
a(w_1+2)=w_1+w_2\\
a= \frac{w_1+w_2}{w_1+2} \ \ \wedge \ \ w_1+2 \neq 0 \\
a=w_3
\)
Jeśli \(w_1+2=0\) to \(a^2-a=-2\), co jest równaniem sprzecznym.