Potrzebuję pomocy w zadanku:
Niech \(L\) będzie zorientowanym dodatnio brzegiem trójkąta wyznaczonym przez krzywe \(y=|x|\) i \( y=1\). Oblicz całkę krzywoliniową skierowaną
\(∫y(1−3x^2)dx+x(1+y^2)dy\)
Będę wdzięczna za pomoc lub podpowiedź.
Całka krzywoliniowa skierowana
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1584
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 416 razy
Re: Całka krzywoliniowa skierowana
Proszę obliczyć wartość całki krzywoliniowej - skierowanej
\( \oint_{(T)} y(1-3x^2)dx + x(1+y^2)dy \)
gdzie:
\( T \) jest dodatnio zorientowanym brzegiem trójkąta, wyznaczonym przez krzywe:
\( T: \begin{cases} y = |x|, \\ y = 0 \\ y= 1. \end{cases} \)
Rys.
\((0,0) \nearrow (1,1) \) - brzeg 1
Parametryzacja odcinka
\( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} +t\begin{bmatrix}1- 0 \\1- 0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} +t \begin{bmatrix} 1\\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} t\\ t\end{bmatrix}, \ \ t \in[ 0, 1]\)
\( d\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} dx \\ dy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1dt \\ 1dt \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} dt \\ dt \end{bmatrix}. \)
Wartość całki po brzegu 1:
\( \int_{brzeg 1} y(1- 3x^2)dx +x(1+y^2)dy = \int_{0}^{1} t(1-3t^2)dt + \int_{0}^{1}t(1+t^2)dt = \int_{0}^{1}(t-t^3)dt +\int_{0}^{1}(t+t^3)dt =
\left [ \frac{t^2}{2}-\frac{3t^4}{4}\right]_{0}^{1} + \left[\frac{t^2}{2} +\frac{t^4}{4}\right]_{0}^{1} = \)
\(=\frac{1}{2}-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}. \)
\((-1,1) \leftarrow (1,1) \) - brzeg 2
\( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} +t\begin{bmatrix}-1 -1 \\1- 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} +t \begin{bmatrix} -2\\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-2 t\\ 1-0t\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1-2 t\\ 1\end{bmatrix} \ \ t \in[ 0, 1].\)
\( d\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} dx \\ dy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2dt \\ 0dt \end{bmatrix}. \)
Wartość całki po brzegu 2
\( \int_{brzeg 2} y(1- 3x^2)dx +x(1+y^2)dy = \int_{0}^{1} 1- 3(1 -2t)^2](-2dt) + \int_{0}^{1}t(1-2t)(1+1)0dt =\)
\( = \int_{0}^{1} [ 1- 3(1-4t+4t^2)(-2)dt + \int_{0}^{1}(1 -3 +12t -12t^2)(-2dt) = \int_{0}^{1}(-2 + 12t -12t^2)(-2dt) =\int_{0}^{1}(4 -24t +24t^3)dt = \left[ 4t -12t^2 +8t^3\right]_{0}^{1} = \)
\( 4 -12 + 8 = 0. \)
\( (-1, 1)\searrow (0,0) - brzeg 3.\)
\( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} +t\begin{bmatrix} 0 -(-1) \\0- 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} +t \begin{bmatrix} 1\\ -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1+ t\\ 1- t\end{bmatrix}, \ \ t \in[ 0, 1].\)
\( d\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} dx \\ dy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1dt \\ -1dt \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} dt \\ -dt\end{bmatrix} \)
Wartość całki po brzegu 3:
\(\int_{brzeg 3} (y -3x^2)dx + x(1+y^2) dy = \int_{0}^{1}(1-t)[1-3(-1+t)^2]dt + \int_{0}^{1}(-1+t)[1 +(1-t)^2](-dt) =\)
\( =\int_{0}^{1}(1-t)[1 -3(t^2-2t+1)]dt + \int_{0}^{1}(t-1)[1 + 1-2t +t^2](-dt)= \int_{0}^{1}(1-t)(1 -3t^2+6t -3)dt - \int_{0}^{1}(t-1)(2 -2t + t^2)dt =\)
\(= \int_{0}^{1}(1-t)(-3t^2+6t -2)dt -\int_{0}^{1}(t-1)(t^2 -2t +2)dt = \int_{0}^{1}(-3t^2 +6t -2 +3t^3 -6t^2 +2t)dt - \int_{0}^{1}(t^3 -2t^2+2t -t^2+2t -2)dt = \)
\( =\int_{0}^{1} (3t^3 -9t^2 +8t -2)dt - \int_{0}^{1}(t^3 -3t^2 +4t -2)dt = \left[ \frac{3}{4}t^4 -3t^3+4t^2-2t \right]_{0}^{1} - \left[\frac{1}{4}t^4-t^3
+2t^2 -2t \right ]_{0}^{1} = \left[ \frac{3}{4}-3 +4 -2 \right ] - \left [\frac{1}{4} -1 +2 - 2 \right] =\)
\(= \left[-\frac{1}{4}\right] -\left[-\frac{3}{4}\right] = -\frac{1}{4} +\frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. \)
Wartość całki
\( \oint_{(brzeg T)} y(1-3x^2)dx + x(1+y^2)dy = \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 1.\)
Metoda druga- twierdzenie G. Greena.
Niech będzie dany jest na płaszczyźnie \( Oxy \) obszar regularny \( (D) \) , którego brzeg jest krzywą zamkniętą - zwykłą gładką lub częściami gładką, skierowaną dodatnio względem \( (D).\)
Jeśli w domkniętym obszarze \( (D) \) pole wektorowe \( \vec{F} = [ P(x,y), Q(x,y) ] \) jest klasy \( C^{1}, \) to
\( \oint_{(Ł)} P(x,y)dx + Q)x,y)dy = \iint_{(D)} \left(\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x} - \frac{\partial P(x,y)}{\partial y} \right) dxdy.\)
W naszym przypadku obszar trójkąta \( (T) \) jest obszarem domkniętym - regularnym o brzegach gładkich, tworzących krzywą zamkniętą zwykłą.
Pole wektorowe:
\( \vec{F}(x,y) = [ P(x,y), \ \ Q(x,y)] = [ y(1-3x^2), \ \ x(1+y^2)] \) jest klasy \( C^{1}.\)
Stąd
\( \frac{\partial Q}{\partial x} = 1 +y^2, \ \ \frac{\partial P}{\partial y} = 1 -3 x^2.\)
\( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1+y^2-1 +3x^2 = 3x^2 +y^2.\)
\( (T) = \{(x,y)\in \rr^2: -y \leq x \leq y \wedge 0 \leq y \leq 1 \}. \) - obszar normalny względem zmiennej \( y.\)
\( \int_{(T)} y(1-3x^2)dx + x(1+y^2)dy = \iint_{(D)} (3x^2 +y^2) dx dy = \int_{0}^{1}\left [ x^3 +x y^2 \right ]_{-y}^{y} dy = \int_{0}^{1} (y^3 +y^3 -(-y)^3 -y^2(-y)]dy = \int_{0}^{1} 4y^3 dy = \left[ 4 \frac{y^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{4}{4}=1. \)
\( \oint_{(T)} y(1-3x^2)dx + x(1+y^2)dy \)
gdzie:
\( T \) jest dodatnio zorientowanym brzegiem trójkąta, wyznaczonym przez krzywe:
\( T: \begin{cases} y = |x|, \\ y = 0 \\ y= 1. \end{cases} \)
Rys.
\((0,0) \nearrow (1,1) \) - brzeg 1
Parametryzacja odcinka
\( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} +t\begin{bmatrix}1- 0 \\1- 0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} +t \begin{bmatrix} 1\\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} t\\ t\end{bmatrix}, \ \ t \in[ 0, 1]\)
\( d\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} dx \\ dy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1dt \\ 1dt \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} dt \\ dt \end{bmatrix}. \)
Wartość całki po brzegu 1:
\( \int_{brzeg 1} y(1- 3x^2)dx +x(1+y^2)dy = \int_{0}^{1} t(1-3t^2)dt + \int_{0}^{1}t(1+t^2)dt = \int_{0}^{1}(t-t^3)dt +\int_{0}^{1}(t+t^3)dt =
\left [ \frac{t^2}{2}-\frac{3t^4}{4}\right]_{0}^{1} + \left[\frac{t^2}{2} +\frac{t^4}{4}\right]_{0}^{1} = \)
\(=\frac{1}{2}-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}. \)
\((-1,1) \leftarrow (1,1) \) - brzeg 2
\( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} +t\begin{bmatrix}-1 -1 \\1- 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} +t \begin{bmatrix} -2\\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-2 t\\ 1-0t\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1-2 t\\ 1\end{bmatrix} \ \ t \in[ 0, 1].\)
\( d\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} dx \\ dy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2dt \\ 0dt \end{bmatrix}. \)
Wartość całki po brzegu 2
\( \int_{brzeg 2} y(1- 3x^2)dx +x(1+y^2)dy = \int_{0}^{1} 1- 3(1 -2t)^2](-2dt) + \int_{0}^{1}t(1-2t)(1+1)0dt =\)
\( = \int_{0}^{1} [ 1- 3(1-4t+4t^2)(-2)dt + \int_{0}^{1}(1 -3 +12t -12t^2)(-2dt) = \int_{0}^{1}(-2 + 12t -12t^2)(-2dt) =\int_{0}^{1}(4 -24t +24t^3)dt = \left[ 4t -12t^2 +8t^3\right]_{0}^{1} = \)
\( 4 -12 + 8 = 0. \)
\( (-1, 1)\searrow (0,0) - brzeg 3.\)
\( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} +t\begin{bmatrix} 0 -(-1) \\0- 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} +t \begin{bmatrix} 1\\ -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1+ t\\ 1- t\end{bmatrix}, \ \ t \in[ 0, 1].\)
\( d\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} dx \\ dy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1dt \\ -1dt \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} dt \\ -dt\end{bmatrix} \)
Wartość całki po brzegu 3:
\(\int_{brzeg 3} (y -3x^2)dx + x(1+y^2) dy = \int_{0}^{1}(1-t)[1-3(-1+t)^2]dt + \int_{0}^{1}(-1+t)[1 +(1-t)^2](-dt) =\)
\( =\int_{0}^{1}(1-t)[1 -3(t^2-2t+1)]dt + \int_{0}^{1}(t-1)[1 + 1-2t +t^2](-dt)= \int_{0}^{1}(1-t)(1 -3t^2+6t -3)dt - \int_{0}^{1}(t-1)(2 -2t + t^2)dt =\)
\(= \int_{0}^{1}(1-t)(-3t^2+6t -2)dt -\int_{0}^{1}(t-1)(t^2 -2t +2)dt = \int_{0}^{1}(-3t^2 +6t -2 +3t^3 -6t^2 +2t)dt - \int_{0}^{1}(t^3 -2t^2+2t -t^2+2t -2)dt = \)
\( =\int_{0}^{1} (3t^3 -9t^2 +8t -2)dt - \int_{0}^{1}(t^3 -3t^2 +4t -2)dt = \left[ \frac{3}{4}t^4 -3t^3+4t^2-2t \right]_{0}^{1} - \left[\frac{1}{4}t^4-t^3
+2t^2 -2t \right ]_{0}^{1} = \left[ \frac{3}{4}-3 +4 -2 \right ] - \left [\frac{1}{4} -1 +2 - 2 \right] =\)
\(= \left[-\frac{1}{4}\right] -\left[-\frac{3}{4}\right] = -\frac{1}{4} +\frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. \)
Wartość całki
\( \oint_{(brzeg T)} y(1-3x^2)dx + x(1+y^2)dy = \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 1.\)
Metoda druga- twierdzenie G. Greena.
Niech będzie dany jest na płaszczyźnie \( Oxy \) obszar regularny \( (D) \) , którego brzeg jest krzywą zamkniętą - zwykłą gładką lub częściami gładką, skierowaną dodatnio względem \( (D).\)
Jeśli w domkniętym obszarze \( (D) \) pole wektorowe \( \vec{F} = [ P(x,y), Q(x,y) ] \) jest klasy \( C^{1}, \) to
\( \oint_{(Ł)} P(x,y)dx + Q)x,y)dy = \iint_{(D)} \left(\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x} - \frac{\partial P(x,y)}{\partial y} \right) dxdy.\)
W naszym przypadku obszar trójkąta \( (T) \) jest obszarem domkniętym - regularnym o brzegach gładkich, tworzących krzywą zamkniętą zwykłą.
Pole wektorowe:
\( \vec{F}(x,y) = [ P(x,y), \ \ Q(x,y)] = [ y(1-3x^2), \ \ x(1+y^2)] \) jest klasy \( C^{1}.\)
Stąd
\( \frac{\partial Q}{\partial x} = 1 +y^2, \ \ \frac{\partial P}{\partial y} = 1 -3 x^2.\)
\( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1+y^2-1 +3x^2 = 3x^2 +y^2.\)
\( (T) = \{(x,y)\in \rr^2: -y \leq x \leq y \wedge 0 \leq y \leq 1 \}. \) - obszar normalny względem zmiennej \( y.\)
\( \int_{(T)} y(1-3x^2)dx + x(1+y^2)dy = \iint_{(D)} (3x^2 +y^2) dx dy = \int_{0}^{1}\left [ x^3 +x y^2 \right ]_{-y}^{y} dy = \int_{0}^{1} (y^3 +y^3 -(-y)^3 -y^2(-y)]dy = \int_{0}^{1} 4y^3 dy = \left[ 4 \frac{y^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{4}{4}=1. \)