Wyznacz postać Jordana macierzy

[Croquette]

Wyznaczyć postać Jordana macierz A = \( \begin{bmatrix} 2&0&0&0 \\ 4&2&0&0 \\ 3& -1 & 2&0 \\ -1&2&1&2 \end{bmatrix} \)

To jest moje rozwiązanie, lecz nie mam pewności czy jest poprawnie wykonane:

\(ϕ(λ)=det(A−λI)=det \begin{bmatrix} 2 - λ&0&0&0\\4&2 - λ&0&0\\3&-1&2 - λ&0\\-1&2&1&2 - λ \end{bmatrix}\)

\(ϕ(λ)= (-1)^{4 + 4} * (2 - λ) * [ (2 - λ)^{3} ] = (2 - λ)^{4} = (- (λ - 2) )^{4} = (λ - 2)^{4} \)

Obliczam wektory własne macierzy dla \(λ = 2\)

\( \begin{bmatrix}0&0&0&0\\4&0&0&0\\3&-1&0&0\\-1&2&1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\b\\c\\d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\0\\0 \end{bmatrix} \)

Stąd:

\( \begin{cases} 0a + 0b + 0c + 0d = 0 \\ 4a + 0b + 0c + 0d = 0 \\ 3a - 1b + 0c + 0d = 0 \\ -1a + 2b + 1c +0d = 0 \end{cases} \So \begin{cases} 4a = 0 \\ 3a = 1b \\ -1a + 2b + 1c = 0\end{cases} \So \begin{cases} a = 0 \\ b = 0 \\ c = 0 \end{cases} \)

I tutaj dalej nie wiem, czy jeśli otrzymujemy taki wynik to otrzymaliśmy macierzy \(A\) , która nie istnieje ? Dzięki za wytłumaczenie i pokazaniu jak poprawnie powinno wyglądać to zadanie.

[janusz55]

Proszę poprawnie wyznaczyć współrzędne wektora własnego macierzy \( A.\)

https://forum.zadania.info/viewtopic.php?t=101265

[Croquette]

Czy zostało to poprawnie dokończone ?

Proszę poprawnie wyznaczyć współrzędne wektora własnego macierzy \( A.\)

https://forum.zadania.info/viewtopic.php?t=101265

\(\begin{bmatrix}0&0&0&0\\4&0&0&0\\3&-1&0&0\\-1&2&1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\b\\c\\d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\0\\0 \end{bmatrix}\)

Wiersz pierwszy jest 0 to skreślam go. Otrzymuje w ten sposób parametr \(d = \alpha ; \alpha \in \rr \)
Stąd:

\( \begin{cases} 4a = 0 \\ 3a - 1b = 0 \\ -1a + 2b + 1c = 0 \\ d = \alpha \end{cases} \ \ \So \begin{cases} a = 0 \\ b = 0 \\ c = 0 \\ d = \alpha \end{cases} \So
\ \ \vec{w} \begin{bmatrix}0\\0\\0\\ \alpha \end{bmatrix} \)

Czyli odpowiedź do tego zadania to:
Współrzędne wektorów własnych dla macierzy \(A\) to \(\vec{w} \begin{bmatrix}0\\0\\0\\ \alpha \end{bmatrix}\ \ dla \ \ \alpha \neq 0 \)

[janusz55]

Wektor własny wyznaczony poprawnie, \( \alpha \in \rr \setminus \{0\} .\)