Wyznaczenie zbioru wartości funkcji w przedziale przy pomocy pochodnej

[Mruwa]

\(f(x) =\frac{ x^2}{3-x}\) wyznacz zbiór wartości funkcji w przedziale [-3,5].

Dziedzina = \(x \neq 3\)

Obliczyłam wartości funkcji na końcach przedziału f(-3) = 3/2 oraz f(5) = -25/2. Później obliczyłam pochodną i wyznaczyłam z niej "x" podejrzane o ekstrema. Wyszło mi, że ekstrema mogą znajdywać się w x1= 0 i x2= 6. Wykluczyłam 6 bo nie mieści się w przedziale. Obliczyłam wartość funkcji dla 0 f(0) = 0. Według mojej wiedzy f(0)= 0 to minimum lokalne funkcji, natomiast wartość f(5) jest mniejsza. Nie wiem, którą wartość uznać za minimalną wartość funkcji f(5)= -25/2 czy f(0) = 0. Czy f(0) można w ogóle uznać za minimum lokalne? Jeżeli nie to dlaczego?

[Jerry]

Może wykres pomoże...

Pozdrawiam

[edited] w poleceniu jest "zbiór wartości"

[Mruwa]

Dziękuję za odpowiedź, jednak dalej nie rozumiem. Według wykresu wygląda na to, że zbiór wartości funkcji: \((- \infty , {-25\over2}] \cup [0, \infty )\). Wydaje mi się że to nie jest dobra odpowiedź, a jeżeli jest to nie wiem w jaki sposób można by to było określić bez wykresu.

[Jerry]

To jest, wg mnie, dobra odpowiedź!
Z pochodnej wynika monotoniczność funkcji, czyli możesz, wyznaczając dodatkowo granice w \(x=3\), określić elementarnie jej przebieg i wnioskować zbiór wartości.

Pozdrawiam
PS. Spójrz na to - ułatwi Ci regulaminowe pisanie postów!

[Mruwa]

Bardzo dziękuję za pomoc!

[janusz55]

\( f(x) = \frac{x^2}{3-x} \)

Dziedzina funkcji

\( D = \{ x: x\in \rr \wedge \ \ 3-x \neq 0 \} = \rr \setminus \{3\}.\)

Co dzieje się z wykresem w punkcie \( x_{0} = 3 ? \)

\( \Lim_{x\to 3^{-}} f(x) = \Lim_{x\to 3^{-}} \frac{x^2}{3-x} = \left [ \frac{9}{0^{+}}\right] = +\infty. \)

\( \Lim_{x\to 3^{+}} f(x) = \Lim_{x\to 3^{+}} \frac{x^2}{3-x} = \left [\frac{9}{0^{-}}\right] = -\infty.\)

W punkcie \( x_{0} = 3 \) wykres funkcji ma pionową asymptotę obustronną.

Zauważmy, że stopień wielomianu licznika równa 2 jest jeden większy od stopnia mianownika równego 1.

Wykres funkcji może więc posiadać asymptotę ukośną (pochyłą). Aby to sprawdzić dzielimy licznik przez mianownik funkcji.

\( f(x) = \frac{x^2}{3-x} = (-x -3) + \frac{9}{3-x} \)

\( |f(x) - (-x -3)| = \left| \frac{9}{3-x} \right| \rightarrow 0, \) gdy \( x \rightarrow \infty \)

Asymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji jest prosta \( y = -x -3.\)

Znajdujemy ekstrema lokalne funkcji

\( f'(x) = \frac{2x(3-x) -x^2(-1)}{(3-x)^2} = \frac{-2x^2 + 6x +x^2}{(3-x)^2} = \frac{-x^2 +6x}{(3-x)^2} = \frac{x(-x+6)}{(3-x)^2} \)

Znak pochodnej zależy od znaku funkcji kwadratowej \( g(x)= x(-x+6), \) która przyjmuje wartość zero w punktach \( (0,0) \ \ (6,0)\)

Poprawnie Pani określiła, że w punktach tych funkcja posiada odpowiednio minimum lokalne równe \( f(0) = 0\) i maksimum lokalne \( f(6) =
-12 \) , które nie należy do rozpatrywanego przedziału \( [-3, \ \ 5].\)

Określamy wartość najmniejszą i największą funkcji \( f(x) \) przedziale \([ -3,\ \ 5 ].\)

\( \min_{[-3, 5]} f(x) = \min[ f(-3) , f(0) , f(5) ] = \min \left[ \frac{9}{6}, 0 , -\frac{25}{2}\right] = \frac{9}{6} = -\frac{25}{2} = -12\frac{1}{2}.\)


\( \max_{[-3, 5]} f(x) = \max[ f(-3) , f(0) , f(5) ] = \max \left[ \frac{9}{6}, 0 , -\frac{25}{2}\right] = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}.\)

[janusz55]

Uwaga

Jak stwierdziliśmy w punkcie \( x_{0} = 3 \) przedziału \( [-3, \ \ 5 ] \) wykres funkcji ma obustronną asymptotę pionową z plus na minus nieskończoność.

Wynika z tego, że w tym przedziale funkcja przyjmuje również wartości \( +\infty, \ -\infty. \)

Ale tych nieskończonych wartości nie przyjmuje się jako wartości największej i najmniejszej funkcji czyli wartości maksimum i minimum globalnego.

[Jerry]

Poprawnie Pani określiła, ...

Jasnowidz?

\( \min_{[-3, 5]} f(x) = \min[ f(-3) , f(0) , f(5) ] = \min \left[ \frac{9}{6}, 0 , -\frac{25}{2}\right] = \frac{9}{6} = -\frac{25}{2} = -12\frac{1}{2}.\)

\( \max_{[-3, 5]} f(x) = \max[ f(-3) , f(0) , f(5) ] = \max \left[ \frac{9}{6}, 0 , -\frac{25}{2}\right] = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}.\)

A to nie jest prawdą - na szczęście w następnym poście jest poprawka!

Pozdrawiam

[janusz55]

Poczytaj na temat ekstremów lokalnych i globalnych funkcji.

Polecam na przykład podręcznik Andrzeja Birkholca. Analiza matematyczna dla nauczycieli.

To nie jest poprawka tylko uwaga.