Podane funkcje wymierne właściwe rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste

[kuba1337]

Poprosze o pomoc w zrozumieniu tych przykładów
a) \(\frac{x+3}{x^2+x-2}\)
b) \(\frac{x+3}{x(x-2)^2}\)
c) \(\frac{3x^2-x+2}{x^3+x^2+2x+2}\)

[maria19]

LATEX https://forum.zadania.info/viewtopic.php?t=568

[Jerry]

a) \(\frac{x+3}{x^2+x-2}\)

\[x^2+x+2=(x+2)(x-1)\\\frac{x+3}{x^2+x-2}\equiv\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}\iff x+3\equiv A(x-1)+B(x+2)\iff\begin{cases}1=A+B\\ 3=-A+2B\end{cases}\\
\frac{x+3}{x^2+x-2}=\frac{-{1\over3}}{x+2}+\frac{{4\over3}}{x-1}\]
Pozdrawiam

[Jerry]

b) \(\frac{x+3}{x(x-2)^2}\)

\[\frac{x+3}{x(x-2)^2}\equiv\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^2}\\
x+3\equiv A(x-2)^2+Bx(x-2)+Cx\\
\begin{cases}0=A+B\\ 1=-4A-2B+C\\3=4A\end{cases}\\
\ldots\]
Pozdrawiam

[Jerry]

c) \(\frac{3x^2-x+2}{x^3+x^2+2x+2}\)

\[x^3+x^2+2x+2=(x+1)(x^2+2)\\
\frac{3x^2-x+2}{x^3+x^2+2x+2}\equiv\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+2}\\
3x^2-x+2\equiv A(x^2+2)+(Bx+C)(x+1)\\ \ldots\]
Pozdrawiam

[kuba1337]

1=A+B
3=−A+2B
z czego wynika wynik tych równań chodzi mi skad wzięła się 1 oraz 3

[janusz55]

Ułamkiem prostym nazywamy funkcję wymierną, której mianownik jest potęgą wielomianu nierozkładalnego, a licznik wielomianem stopnia niższego niż wielomian nierozkładalny.

Ułamkami prostymi są na przykład funkcje \( \frac{1}{x+1}, \frac{x+6}{x^2 + x +1} \ \ \frac{x -13}{(x^2+5)^{37}}, \frac{24}{(x-3)^{50}}.\)

Funkcje \( \frac{x+2}{x-1}, \ \ \frac{x- 100}{x^2 +3x -2} \) ułamkami nie są, bo są skracalne.

Twierdzenie o przedstawianiu funkcji wymiernej w postaci sumy ułamków prostych

Każdą funkcję wymierną można przedstawić w postaci sumy wielomianu i ułamków prostych. Przedstawienie takie jest jednoznaczne z dokładnością do kolejności składników, jeśli każdy mianownik może wystąpić tylko raz, a wszystkie liczniki są różne od zera.

Z dowodem tego twierdzenia możesz zapoznać się na przykład w (*).

Przykład funkcję wymierną

\( f(x) = \frac{1}{x^4+x^2}.\)

rozłożymy na sumę ułamków prostych.

Ponieważ \( x^4 +x^2 = x^2(x^2+1) \) więc

\( f(x) = \frac{1}{x^4+x^2} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2} + \frac{cx +d}{x^2 +1}. \)

Mnożąc obustronnie przez \( x^4 +x^2 = x^2(x^2 +1) \) otrzymujemy

\( 1 \equiv ax(x^2+1)+b(x^2+1) + (cx+d)x^2 \)

Stąd

\( 1 = (a+c)x^3 + (b+d)x^2 +cx +b \) więc

\( \begin{cases} a+c = 0 \\ b+d = 0 \\ a = 0 \\ b=1 \end{cases} \)

Ostatecznie \( a = 0, \ \ b= 1, \ \ c=0, \ \ d =-1. \)

\( f(x) = \frac{1}{x^4+x^2} = \frac{1}{x^2}+ \frac{-1}{x^2+1}. \)

(*) A. I. Kostrykin. Wstęp do algebry . Państwowe Wydawnictwo Naukowe Warszawa 1984.

[maria19]

1=A+B
3=−A+2B
z czego wynika wynik tych równań chodzi mi skad wzięła się 1 oraz 3

Poczytaj coś chłopie np. Krysicki, Włodarski- Analiza t.2

[janusz55]

a)
Przedstawimy funkcję \( a(x) = \frac{x+3}{x^2 +x-2} \) w postaci sumy ułamków prostych.

Mianownik funkcji zapisujemy w postaci iloczynowej

\( x^2 + x -2 = (x-x_{1})(x-x_{2}) = (x+2)(x-1) \)

\( a(x) = \frac{x+3}{(x+2)(x-1)} \)

W mianowniku mamy iloczyn dwóch czynników liniowych. Z twierdzenia o rozkładzie funkcji wymiernej na sumę ułamków prostych wynika, że funkcję \( a(x) \) można zapisać w postaci sumy

\( \frac{x+3}{x^2 +x -2} = \frac{A}{(x+2)} + \frac{B}{(x-1)} \)

Mnożymy równanie przez \( x^2 + x -2 = (x+2)(x-1) \)

\( 1x+3 = A(x-1) + B(x+2) \)

\( 1x+3 = Ax -A + Bx +2B \)

\( 1x +3 = (A+B)x +(-A)+ 2B \)

Porównujemy współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej

\( 1 = A +B, \) i \( 3 = -A + 2B \)

Rozwiązujemy układ równań

Na przykład z pierwszego równania \( A = 1-B \) wstawiamy do równania drugiego \( 3 = -(1-B) + 2B \)

\( 3 = -1 + B +2B , \ \ 3B = 4, \ \ B= \frac{4}{3}.\)

\( A = 1 - B = 1 - \frac{4}{3} = \frac{3}{3} -\frac{4}{3} = -\frac{1}{3}.\)

\( A = -\frac{1}{3}, \ \ B = \frac{4}{3}.\)

Otrzymaliśmy rozkład funkcji \( a(x) = \frac{x+3}{x^2 + x -2} = \frac{-\frac{1}{3}}{x+2} + \frac{\frac{4}{3}}{x-1} \)

Sprawdzenie

\( \frac{x+3}{x^2 +x-2} = \frac{-\frac{1}{3}(x-1) + \frac{4}{3}(x+3)}{x^2 +x- 2}= \frac{-\frac{1}{3}x + \frac{1}{3} + \frac{4}{3}x +\frac{8}{3}}{x^2 +x -2} = \frac{\frac{3}{3}x + \frac{9}{3}}{ x^2 + x - 2} = \frac{x+3}{ x^2 +x -2}. \)