Znając niektóre pierwiastki podanych wielomianów rzeczywistych P, znaleźć ich pozostałe pierwiastki.

[kuba1337]

Prosze o pomoc w zrozumieniu tych zadań

a) \(P(x) = x^3 − 5x^2 + 6x − 4,\ x_1 = 1 + i\)
b) \(P(x) = x^4 − 3x^3 + 3x^2 + 37x − 78,\ x_1 = 2 − 3i\)

[Icanseepeace]

a) \( x_1 = 1 + i \) nie jest pierwiastkiem tego wielomianu (może miało być: \( x^3 - 4x^2 + 6x - 4 \)?
Jeżeli liczba zespolona z jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych to również liczba do niej sprzężona jest jego pierwiastkiem. Dlatego:
b) \( x_1 = 2 - 3i \) jest pierwiastkiem, więc również \( x_2 = 2 + 3i \) jest jego pierwiastkiem.
Dlatego wielomian ten jest podzielny przez dwumian:
\( (x-x_1)(x-x_2) = (x-2 + 3i)(x-2 - 3i) = (x-2)^2 + 9 = x^2 - 4x + 13 \)
Teraz wystarczy podzielić P(x) przez powyższy dwumian (dowolną metodą: pisemnie/Horner lub też skorzystać z wzorów Viete'a jak nie lubisz dzielić) i rozwiązać równanie kwadratowe.

[kuba1337]

w przykladzie a masz racje. zrobilem tym samym sposobem co opisałeś w przykladzie drugim. wychodzi mi wynik po podzieleniu x-2 czyli to jest juz mój ostateczny wynik i wychodzi na to ze przyklad a ma dwa pierwiastki x1=1+i oraz x2=x-2 dobrze rozumiem?

[Icanseepeace]

https://pl.wikipedia.org/wiki/Zasadnicz ... ie_algebry
Wielomian stopnia III w liczbach zespolonych ma 3 pierwiastki.
W tym przypadku są to:
\( x_1 = 1 + i \ , \ x_2 = 1 - i , \ x_3 = 2 \)