Nie wykonując dzieleń wyznaczyć reszty z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q.

[kuba1337]

Bardzo proszę o pomoc w zrobieniu tych zadań. Proszę rowniez o tlumaczenie ponieważ chciałbym zrozumiec te zadania i zrobic inne podobne przyklady samemu

\(P(x) = x^{128} + x^3 + 1 ,\quad Q(x) = x^2 + 1\\
P(x) = x^{81} + 5x^2 + 3 , \quad Q(x) = x^3 − x\\
P(x) = x^{2020} + x^{1011} − 1, \quad Q(x) = x^4 − 1\)

[Icanseepeace]

Dłuższy sposób:
1) Szukasz pierwiastków wielomianu Q(x)
2) Ustalasz resztę jako wielomian o stopniu 1 mniejszym niż Q(x)
3) Z twierdzenia o dzieleniu z resztą wersja dla wielomianów tworzysz odpowiednie równania
Weźmy ostatni wielomian:
1)\( Q(x) = x^4 - 1 \So x = 1 \vee x = -1 \vee x = i \vee x = -i \)
2) \( R(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \)
3) \( P(x) = W(x)Q(x) + R(x) \)
\( P(1) = W(1) Q(1) + a + b + c + d \)
\( P(1) = a + b + c + d \) (bo z 1) mamy \( Q(1) = 0 \))
analogicznie podstawiasz
P(-1) = ...
P(i) = ...
P(-i) = ...
i dostajesz 4 równania z 4 niewiadomymi.
Krószy sposób:
\( Q(x) = 0 \So x^4 = 1 \\
x^{2020} + x^{1011} - 1 = (x^{4})^{505} + x^3 \cdot (x^4)^{257} -1 = 1^{505} + x^3 1^{505} - 1 = x^3\)

[kuba1337]

Na kolokwium bede musiał robic tym dłuższym sposobem wiec:
1) pierwiastki wielomianu Q(x) domyslałem się ze bedzie 1 i -1 nie wiedziałem o i oraz -i
2) niestety chyba tego nie rozumiem, mogł byś mi to jakos inaczej wyjaśnić?
3)
P(1)=1+1-1=1
P(-1)=1-1-1=-1
P(i)=i+i-1=2i-1
P(-i)=i-i-1=-1
i dalej chyba nie rozumiem.
Bardzo Cię proszę o poprowadzenie mnie do zrozumienia tego
ten krótszy sposob wydaje sie dużo szybszy ale wykladowca raczej bedzie oceniał poszczególne rachunki wiec niestety odpada

[janusz55]

Rozwiązanie zadań opiera się na twierdzeniu (*)

Dla dowolnego wielomianu \( W(x) \) i dowolnego niezerowego wielomianu \( P(x) \) istnieją wielomiany \( Q(x) \) i \( R(x) \) , że

- prawdziwa jest równość

\( W(x) = P(x)\cdot Q(x) + R(x) \)

- wielomian \( R(x) \) jest wielomianem zerowym albo wielomianem niezerowym i wtedy stopień wielomianu \( R(x) \) jest mniejszy od

stopnia wielomianu \( Q(x) \ \ (st. R(x) < st. Q(x)). \)

1)
Dostosowując oznaczenia wielomianów do tego twierdzenia mamy

\( W(x) = x^{128} +x^3 +1, \ \ Q(x) = x^2+1 \)

Wielomian \( Q(x) = x^2+ 1 \) rozkłada się na iloczyn czynników zespolonych \( (x+i)(x-i) \) i jego pierwiastkami są \( x_{1}= -i, \ \ x_{2} = i.\)

Możemy więc zapisać:

\( x^{128} +x^3 + 1 = P(x) \cdot (x+i)(x-i) + R(x) \ \ (**) \)

Ponieważ stopień wielomianu \( Q(x) = x^2 +1 \) wynosi \( 2, \) więc wielomian \( R(x) \) - wielomian reszty może być o jeden stopień mniejszy czyli stopnia pierwszego;

\( R(x) = ax + b. \)

Na podstawie \( (**) \)

\( x^{128} + x^3 +1 = P(x) \cdot (x+i)(x-i) + ax +b \ \ (***) \)

Podstawiamy pierwszy pierwiastek \( x_{1} = -i \) do równania \( (***) \)

\( (-i)^{128} + (-i)^3 + 1 = P(-i)\cdot (-i+i)(-i -i) + a(-i) +b \ \ (****)\)

\( (-i)^{128} = [(-1)^2]^{64} = (-1)^{64} = 1.\)

\( (-i)^3 = (-i)^2\cdot (-i) = -1\cdot (-i) = i \)

\( -i + i = 0, \ \ -i -i = -2i.\)

Z \( (****) \)

\( 1 + i +1 = P(-i)\cdot (-2i)\cdot 0 + -ai + b \)

\( 2 + i = -a i +b \)

Podobnie podstawiamy drugi pierwiastek \( x_{2} = i \) do równania \( (***) \)

\( i^{128} + i^3+ 1 = P(i)\cdot (i+i)(i-i) +ai +b \)

\( 1- i +1 = 0 + ai +b \)

\( 2 -i = ai + b \)

Otrzymaliśmy dwa równania na obliczenia wartości współczynników \( a, \ \ b \) wielomianu reszty \( R(x).\)

\( \begin{cases} 2+i = -ai +b \\ 2 -i = ai +b \end{cases} \)

Rozwiązujemy ten układ

\( 4 +i -i = -ai +ai +b + b \) i

\( 2b = 4, \ \ b=2.\)

Podstawimy \( b=2 \) na przykład do równania drugiego

\( 2- i = ai +2, \ \ -i = ai, \ \ a = \frac{-i}{i} = -1 \)

\( a = -1, \ \ b = 2.\)

Reszta z dzielenia wielomianu \( W(x) =x^{128} + x^3 + 1\) przez wielomian \( Q(x) = x^2+1 \) jest wielomianem \( R(x) = -x +2.\)

Podobnie rozwiązujemy pozostałe zadania.

(*) Dowód twierdzenia o rozkładzie wielomianu można znaleźć na przykład w cieniutkiej książeczce Pana dr Michała Krycha ANALIZA MATEMATYCZNA część pierwsza. Wydawnictwo Prószyński i S-ka Warszawa 2001,

[kuba1337]

Wydaje mi się że rozumiem, tylko jak znaleźć te pierwiastki wielomianu Q(x) w drugim i trzecim przykladzie. jest na to jakis wzor? chodzi mi o:
Q(x)= x^3-x oraz Q(x) x^4-1

[janusz55]

Nie może wydawać się, że rozumiem tylko na pewno rozumiem!

W drugim przykładzie \( Q(x) = x^{3} - x = x(x^2 -1)= x(x+1)(x-1) \)

Podstawiamy kolejno pierwiastki wielomianu \( Q(x): \ \ x_{1} = 0, x_{2} = -1, \ \ x_{3} =1, \) gdy wielomian reszty: \( R(x) = ax^2+bx + c \)

Wyznaczamy wartości współczynników \( a, b, c \) na podstawie układu trzech równań liniowych.

W przykładzie trzecim

\( Q(x) = x^4 -1 = (x^2)^2 -1 = (x^2-1)(x^2 +1) = (x+1)(x-1)(x+i)(x-i) \)

Pierwiastki: \( x_{1} = -1, \ \ x_{2}= 1, \ \ x_{3} = -i, \ \ x_{4} = i. \)

Wielomian reszty: \( R(x) = ax^3 +bx^2 + cx + d. \)

Rozwiązujemy układ czterech równań liniowych dla wartości współczynników \( a, \ \ b, \ \ c \ \ d. \)

[kuba1337]

Dziekuje bardzo za pomoc, daliście mi wiarę w to, że uda mi się skończyć ten rok z zaliczeniem