Funkcja

[Ola00]

Funkcja \(f : \rr^2\to \rr \) określona jest wzorem \(f(x, y) = x^2+ 9y^2- 2xy + 6x - 2y + 4.\)
(a) Czy f jest wypukła? Odpowiedź uzasadnić.
(b) Czy f jest ściśle wypukła? Odpowiedź uzasadnić.
(c) Czy f osiąga minimum? Odpowiedź uzasadnić.
(d) Jeśli f osiąga minimum, to wyznaczyć jej minimizer i jej wartość minimalną.

[janusz55]

a)
Funkcja f dwukrotnie różniczkowalna na przedziale jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy jej druga pochodna \( f^{''} \)
jest nieujemna.

b)
Funkcja f dwukrotnie różniczkowalna na przedziale jest ścilele wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy jej druga pochodna \( f^{''} \)
jest nieujemna oraz nie zeruje się na żadnym przedziale.

c)
Warunek konieczny i wystarczający minimum lokalnego:

\( \begin{cases} \nabla f(x,y) = 0 \\ \nabla^2 f(x,y) > 0 \end{cases}.\)

[janusz55]

d)
Z układu równań

\( \begin{cases} \nabla f(x,y) = 0 \\ \nabla^2 f(x,y) > 0 \end{cases}\)

Wyznaczamy \( (x*, y*) \) oraz \( f(x*,y*).\)

[Jerry]

(c) Czy f osiąga minimum? Odpowiedź uzasadnić.

Elementarnie:
\[f(x, y) = x^2+ 9y^2- 2xy + 6x - 2y + 4=\ldots=(x-y+3)^2+8\left(y+{1\over4}\right)^2-{11\over2}\ge-{11\over2}\]
i równość zachodzi dla
\[\begin{cases}x-y+3=0\\y+{1\over4}=0\end{cases}\iff\begin{cases}x=-{13\over4}\\y=-{1\over4}\end{cases}\]
Pozdrawiam