Wielomiany

[Fedal]

Reszta z dzielenia wielomianu
$$W(x)=2x^{4}+px^{3}+9x^{2}+qx+5$$ przez wielomian
$$P(x)=2x-2$$ jest równa 10 . Reszta z dzielenia $$W(x)$$ przez wielomian $$Q(x)=x+1$$ wynosi 22.
Jakie są wartości parametrów p i q ?

[janusz55]

Twierdzenie E. Bezout

Reszta z dzielenia wielomianu \( W(x) \) przez dwumian \( x-c \) jest równa wartości wielomianu \( W(x) \) dla \( x=c, \) to jest liczbie \( W(c).\)

\( \begin{cases} W(1) = 10 \\ W(-1) = 22 \end{cases} \)

Proszę rozwiązać ten układ równań.

[Maciek32]

Wychodzi, że \(p=-6-q\), z równania \(W(-1)\) i po podstawieniu do \(W(1)\) wychodzi, równanie tożsamościowe \(10=10\). To znaczy, że \(p,q\in \rr\)?

[Icanseepeace]

Wychodzi, że \(p=-6-q\), z równania \(W(-1)\) i po podstawieniu do \(W(1)\) wychodzi, równanie tożsamościowe \(10=10\). To znaczy, że \(p,q\in \rr\)?

Nie. To oznacza, że
\( p = -6 - q \ , \ q \in R \).

[Maciek32]

Faktycznie! Ale jak określić wartość parametru p? Takie uzależnienie od q jest wystarczające?

[Icanseepeace]

Faktycznie! Ale jak określić wartość parametru p? Takie uzależnienie od q jest wystarczające?

Wartości jest nieskończenie wiele i są uzależnione od siebie.
Zapis jest wystarczający.

[janusz55]

\( \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 -q \\ q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 \\ 0 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} -q \\q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} q, \ \ q\in \rr \ \ (*) \)

Jeżeli wartości parametrów \( p, \ \ q \) wielomianu \( W(x) = 2x^4 +px^3 +9x^2+qx +5 \) będą należały do prostej \( (*) \) to wielomian ten przy dzieleniu przez dwumian \( 2x -2 \) będzie dawał resztę równą \( 10, \) a przy dzieleniu przez dwumian \( x+1\) resztę 22.