Na ile sposobów ułożyć ciąg

[crybe]

Na ile sposobów można ułożyć ciąg malejący (a,b,c,d,e) wybierając liczby a,b,c,d,e ze zbioru {1,2…..100} tak aby:
1) a+b było podzielne przez 4
2) abcde = 121

[kerajs]

1) reszta z dzielenia a przez 4 wynosi 0 lub 3 lub 2 lub 1, a stąd:
\( \sum_{i=1}^{24} i \cdot { 99-4i \choose 3} + \sum_{i=1}^{24} i \cdot { 100-4i \choose 3} + \sum_{i=1}^{23} i \cdot { 97-4i \choose 3} + \sum_{i=1}^{23} i \cdot { 96-4i \choose 3} \)
2) skoro \(121=11^2\) to nie można ułożyć takiego ciągu malejącego (ani rosnącego).

[crybe]

Nie rozumiem jaki te sumy mają związek z resztą dzielenia :/

[Jerry]

Wśród poszukiwanych ciągów są m.in.:

• Dla \(k=0\):
  \((100,4,3,2,1);\\
  (100,8,c,d,e)\text{ gdzie }c,d,e\in\{1,2,3,\ldots,7\};\\
  \ldots\\
  (24,12,c,d,e)\text{ gdzie }c,d,e\in\{1,2,3,\ldots,11\};\\ \ldots\)
• Dla \(k=3\):
  \((99,9,c,d,e)\text{ gdzie }c,d,e\in\{1,2,3,\ldots,8\};\\
  \ldots\\
  (23,13,c,d,e)\text{ gdzie }c,d,e\in\{1,2,3,\ldots,12\};\\\ldots\)
• Dla \(k=2\):
  \((98,10,c,d,e)\text{ gdzie }c,d,e\in\{1,2,3,\ldots,9\};\\
  \ldots\)
• Dla \(k=1\):
  \((97,11,c,d,e)\text{ gdzie }c,d,e\in\{1,2,3,\ldots,10\};\\
  \ldots\)

A kerajs ich liczbę zgrabnie policzył sigmami.

Pozdrawiam