Dany jest czworościan o wierzchołkach A(2,1,-1) B(0,1,3) C(-2,3,1) D(0,3,2)
Obliczyć jego objętość oraz długość wysokości spuszonej z wierzchołka D
Geomteria
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1585
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 417 razy
Re: Geomteria
Czworościan w kartezjańskim układzie bazowym \( (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}).\)
\( \vec{AB} = -2i +0\vec{j} + 4\vec{k}, \ \ \vec{AC} = -4i +2\vec{j} + 2\vec{k}, \ \ \vec{AD} = -2\vec{i} +2\vec{j} +3\vec{k}.\)
\( |V| = \frac{1}{3} \cdot \vec{AD}\cdot\frac{1}{2}(\vec{AB}\times \vec{AC}) = \frac{1}{6} \left| \left| \begin{matrix} -2 & 0 & 4 \\ -4 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & 3 \end{matrix}\right|\right|= \frac{1}{6}\cdot 4 = \frac{2}{3}.\)
\( |V| = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}|(\vec{AB}\times \vec{AC})|\cdot H \)
\( \frac{2}{3} = \frac{1}{6}\cdot |(-2\vec{i}+ 0\vec{j} + +4\vec{k})\times (-4\vec{i}+ 2\vec{j}+2\vec{k})|\cdot H.\)
\( \frac{2}{3} = \frac{1}{6}\cdot |-4\vec{i} -12\vec{j} -4\vec{k}| \cdot H \)
\( \frac{2}{3} = \frac{1}{6}\cdot \sqrt{(-4)^2+ (-12)^2 + (-4)^2}\cdot H \)
\( \frac{2}{3} = \frac{1}{6}\cdot \sqrt{16 + 144 + 16}\cdot H \)
\( \frac{2}{3} = \frac{1}{6}\cdot \sqrt{176}\cdot H \)
\( H = \frac{4}{\sqrt{176}} = \frac{4}{4\sqrt{11}} = \frac{1}{\sqrt{11}}.\)
\( \vec{AB} = -2i +0\vec{j} + 4\vec{k}, \ \ \vec{AC} = -4i +2\vec{j} + 2\vec{k}, \ \ \vec{AD} = -2\vec{i} +2\vec{j} +3\vec{k}.\)
\( |V| = \frac{1}{3} \cdot \vec{AD}\cdot\frac{1}{2}(\vec{AB}\times \vec{AC}) = \frac{1}{6} \left| \left| \begin{matrix} -2 & 0 & 4 \\ -4 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & 3 \end{matrix}\right|\right|= \frac{1}{6}\cdot 4 = \frac{2}{3}.\)
\( |V| = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}|(\vec{AB}\times \vec{AC})|\cdot H \)
\( \frac{2}{3} = \frac{1}{6}\cdot |(-2\vec{i}+ 0\vec{j} + +4\vec{k})\times (-4\vec{i}+ 2\vec{j}+2\vec{k})|\cdot H.\)
\( \frac{2}{3} = \frac{1}{6}\cdot |-4\vec{i} -12\vec{j} -4\vec{k}| \cdot H \)
\( \frac{2}{3} = \frac{1}{6}\cdot \sqrt{(-4)^2+ (-12)^2 + (-4)^2}\cdot H \)
\( \frac{2}{3} = \frac{1}{6}\cdot \sqrt{16 + 144 + 16}\cdot H \)
\( \frac{2}{3} = \frac{1}{6}\cdot \sqrt{176}\cdot H \)
\( H = \frac{4}{\sqrt{176}} = \frac{4}{4\sqrt{11}} = \frac{1}{\sqrt{11}}.\)