forum.zadania.info

W trójkącie ABC wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego podzieliła przeciwprostokątną
AB w stosunku 2:7. W jakim stosunku podzieliła tę przeciwprostokątną dwusieczna kąta prostego.

Fakt:
Przy standardowych oznaczeniach, rzuty prostokątne przyprostokątnych \(a,\ b\) na przeciwprostokątną \(c\) mają długości \({a^2\over c},\ {b^2\over c}\) (dowód bezpośrednio z podobieństwa trójkątów).

\[\frac{{a^2\over c}}{{b^2\over c}}={2\over7}\iff {a\over b}=\sqrt{{2\over7}}\]
Z tw. o podziale boku trójkąta dwusieczną kąta wewnętrznego:
\[{|BM|\over|MA|}={ a\over b}={\sqrt{14}\over7}\]
Pozdrawiam