Macierz Jordana

[Bartek216]

Wyznaczyć postać macierzy Jordana A 4x4=

\( \begin{bmatrix} 1& -3& 0& 3\\
-2& -6& 0 &13\\
0 &-3 & 1& 3 \\
-1& -4& 0& 8\end{bmatrix}\)

[janusz55]

Wielomian charakterystyczny macierzy \( A \)

\( w(\lambda)= \lambda^4 -4\lambda^3 + 18\lambda^2 -64\lambda + 49.\)

Krotność algebraiczna macierzy \( A \) wynosi \( 4 \) i jest równa krotności geometrycznej \( 4 \) więc forma Jordana macierzy \( A \) zawiera cztery bloki pierwszego stopnia.

Kod: Zaznacz cały

> A =[1 -3 0 3;2 -6 0 13;0 -3 1 3;-1 -4 0 8]  

A =

     1    -3     0     3
     2    -6     0    13
     0    -3     1     3
    -1    -4     0     8
>> eig(A)

>> charpoly(A)

ans =

     1    -4    18   -64    49

>> eigen(A)
ans =

   1.0000 + 0.0000i
  -0.0800 + 3.9369i
  -0.0800 - 3.9369i
   3.1601 + 0.0000i

>> [V,D,W]=eig(A)

V =

   0.0000 + 0.0000i   0.2235 + 0.2861i   0.2235 - 0.2861i  -0.2519 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i   0.7739 + 0.0000i   0.7739 + 0.0000i   0.7452 + 0.0000i
   1.0000 + 0.0000i   0.2235 + 0.2861i   0.2235 - 0.2861i  -0.2519 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i   0.3180 + 0.1904i   0.3180 - 0.1904i   0.5638 + 0.0000i


D =

   1.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i  -0.0800 + 3.9369i   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i  -0.0800 - 3.9369i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   3.1601 + 0.0000i


W =

  -0.7071 + 0.0000i  -0.1756 + 0.3936i  -0.1756 - 0.3936i  -0.5450 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i   0.5000 + 0.1330i   0.5000 - 0.1330i  -0.1792 + 0.0000i
   0.7071 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i  -0.7393 + 0.0000i  -0.7393 + 0.0000i   0.8190 + 0.0000i

[janusz55]

Macierz Jordana \( \mathcal{J} \) jest równa macierzy diagonalizującej \( D.\)

[janusz55]

Dowód ? Metodą nie wprost ?