Równania różniczkowe
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Równania różniczkowe
Temperatura powietrza w pomieszczeniu wynosi 5°C. Wrząca woda obniża w nim swoją temperaturę do 50°C w ciagu trzydziestu sekund. Po jakim czasie temperatura wody będzie wynosiła 10°C?
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1585
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 416 razy
Re: Równania różniczkowe
Szybkość stygnięcia ciała jest proporcjonalna do różnicy temperatur ciała i otaczającego go powietrza.
W ciągu \( 30 \) sekund temperatura ciała zmalała ze \( 100 ^{o} C \) do \( 50^{o} C. \)
Temperatura powietrza równa jest \( 5^{o} C.\) Po jakim czasie temperatura ciała zmniejszy się do \( 10^{o} C \ \ ? \)
Oznaczmy przez \( T(t) \) temperaturę ciała w chwili \( t.\)
Spełnione są równości \( T(0) = 100^{o} C, \ \ T(30) = 50^{o} C.\)
Niech \( \lambda \) oznacza współczynnik proporcjonalności, który występuje w treści zadania.
Dla małej liczby \( \Delta t \) zachodzi przybliżona równość \( \frac{T (t+ \Delta t) - T(t)}{\Delta t} \approx \lambda(T - 5).\)
Po przejściu do granicy przy \( \Delta t \rightarrow 0 \) otrzymujemy równanie
\( T'(t) = \lambda(T - 5),\)
czyli
\( \lambda t = \int \lambda dt = \int \frac{T'(t)}{T(t) -5}dt = \int \frac{dT}{T -5} = \ln|T- 5|.\)
Z treści zadania wynika, że \( T >5. \)
Stąd
\( T - 5 = T(t) -5 = e^{C} \cdot e^{\lambda t}. \)
Mamy \( 50 = T(30) = 5 + e^{C} \cdot e^{30\cdot \lambda} \) oraz \( 100 = T(0) = 5 + e^{C} \cdot e^{\lambda\cdot 0} \)
\( \begin{cases} 50 = 5 + e^{C} e^{ 30\cdot \lambda} \\ 100 = 5 + e^{C}\cdot 1 \end{cases} \)
\( e^{C} = 95, \ \ C = \ln 95, \ \ 50 = 5 + e^{\ln 95} \cdot e^{30\cdot \lambda} \)
\( 45 = 95e^{30\cdot \lambda} , \ \ \frac{45}{95} = \frac{9}{19} = e^{30\lambda} \)
\( 30 \lambda = \ln\left(\frac{9}{19}\right), \ \ \lambda = \frac{1}{30}\ln\left(\frac{9}{19}\right) \approx- 0,02\)
Wracamy do rozwiązania równania różniczkowego
\( T(t) = 5 + 95e^{-0,02t} \)
Mamy znaleźć taką liczbę \( t, \) że \( 10 = 5 + 95e^{-0,02t},\)
Stąd
\( e^{-0,02t} = \frac{5}{95} = \frac{1}{19}.\)
\( -0,02 t = \ln \left (\frac{1}{19}\right) \)
\( -0,02t \approx -2,94 \)
\( t = \frac{-2.94}{-0,02} \approx 147 s.\)
Temperatura wody będzie wynosiła \( 10^{o} C \) po około \( 147 \) sekundach.
W ciągu \( 30 \) sekund temperatura ciała zmalała ze \( 100 ^{o} C \) do \( 50^{o} C. \)
Temperatura powietrza równa jest \( 5^{o} C.\) Po jakim czasie temperatura ciała zmniejszy się do \( 10^{o} C \ \ ? \)
Oznaczmy przez \( T(t) \) temperaturę ciała w chwili \( t.\)
Spełnione są równości \( T(0) = 100^{o} C, \ \ T(30) = 50^{o} C.\)
Niech \( \lambda \) oznacza współczynnik proporcjonalności, który występuje w treści zadania.
Dla małej liczby \( \Delta t \) zachodzi przybliżona równość \( \frac{T (t+ \Delta t) - T(t)}{\Delta t} \approx \lambda(T - 5).\)
Po przejściu do granicy przy \( \Delta t \rightarrow 0 \) otrzymujemy równanie
\( T'(t) = \lambda(T - 5),\)
czyli
\( \lambda t = \int \lambda dt = \int \frac{T'(t)}{T(t) -5}dt = \int \frac{dT}{T -5} = \ln|T- 5|.\)
Z treści zadania wynika, że \( T >5. \)
Stąd
\( T - 5 = T(t) -5 = e^{C} \cdot e^{\lambda t}. \)
Mamy \( 50 = T(30) = 5 + e^{C} \cdot e^{30\cdot \lambda} \) oraz \( 100 = T(0) = 5 + e^{C} \cdot e^{\lambda\cdot 0} \)
\( \begin{cases} 50 = 5 + e^{C} e^{ 30\cdot \lambda} \\ 100 = 5 + e^{C}\cdot 1 \end{cases} \)
\( e^{C} = 95, \ \ C = \ln 95, \ \ 50 = 5 + e^{\ln 95} \cdot e^{30\cdot \lambda} \)
\( 45 = 95e^{30\cdot \lambda} , \ \ \frac{45}{95} = \frac{9}{19} = e^{30\lambda} \)
\( 30 \lambda = \ln\left(\frac{9}{19}\right), \ \ \lambda = \frac{1}{30}\ln\left(\frac{9}{19}\right) \approx- 0,02\)
Wracamy do rozwiązania równania różniczkowego
\( T(t) = 5 + 95e^{-0,02t} \)
Mamy znaleźć taką liczbę \( t, \) że \( 10 = 5 + 95e^{-0,02t},\)
Stąd
\( e^{-0,02t} = \frac{5}{95} = \frac{1}{19}.\)
\( -0,02 t = \ln \left (\frac{1}{19}\right) \)
\( -0,02t \approx -2,94 \)
\( t = \frac{-2.94}{-0,02} \approx 147 s.\)
Temperatura wody będzie wynosiła \( 10^{o} C \) po około \( 147 \) sekundach.