rozkład prawdopodobieństwa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
rozkład prawdopodobieństwa
Z urny zawierającej 3 kule białe i 6 czarnych wyjęto losowo dwie kule. Zmienną losową X definiujemy jako liczbę wyjętych kul białych. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuantę zmiennej X oraz obliczyć jej wartość oczekiwaną i wariancję.
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1587
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 418 razy
Re: rozkład prawdopodobieństwa
Doświadczenie losowe polega na jednoczesnym losowaniu dwóch kul z urny zawierającej trzy kule białe i sześć kul czarnych.
Tabela rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej \( X \)
\( \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \\
x_{i} & 0 & 1 & 2 & \sum \\ \hline
p_{i} & \frac{{6\choose 2}}{{9\choose 2}} = \frac{5}{12} & \frac{{3\choose 1}{6\choose 1}}{{9\choose2}} = \frac{6}{12} & \frac{{3\choose 2}}{{9\choose 2}}= \frac{1}{12} & 1 \\ \hline \end{array} \)
Dystrybuanta zmiennej losowej \( X \)
\( F_{X}(x) = \begin{cases} 0, \ \ x\leq 0 \\ \frac{5}{12}, \ \ 0 < x \leq 1 \\ \frac{11}{12}, \ \ 1< x \leq 2 \\ 1, \ \ x> 2 \end{cases} \)
Wartość oczekiwana zmiennej losowej \( X \)
\( E(X) = \sum_{i=0}^{2} x_{i}p_{i} = 0\cdot \frac{5}{12} + 1 \cdot \frac{6}{12} + 2\cdot \frac{1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}.\)
Wariancja zmiennej losowej \( X \)
\( V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 0^2\cdot \frac{5}{12} + 1^2\cdot \frac{6}{12} + 2^2\cdot \frac{1}{12} - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{7}{18}.\)
Sprawdzenie wartości wariancji, stosując jej definicję jako średniej kwadratów odchyleń od średniej.
\( V(X) = \sum_{i=0}^{2} [x_{i}-E(X)]^2\cdot p_{i} = \left [\left( 0 -\frac{2}{3}\right)^2\cdot \frac{5}{12} + \left(1 - \frac{2}{3}\right)^2 \cdot \frac{6}{12}+ \left(2 -\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \frac{1}{12}\right] = \frac{4}{9}\cdot \frac{5}{12} + \frac{1}{9}\cdot \frac{6}{12}+ \frac{16}{9}\cdot \frac{1}{12}.= \frac{20}{108}+\frac{6}{108}+\frac{16}{108}= \frac{42}{108}= \frac{7}{18}.\)
Tabela rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej \( X \)
\( \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \\
x_{i} & 0 & 1 & 2 & \sum \\ \hline
p_{i} & \frac{{6\choose 2}}{{9\choose 2}} = \frac{5}{12} & \frac{{3\choose 1}{6\choose 1}}{{9\choose2}} = \frac{6}{12} & \frac{{3\choose 2}}{{9\choose 2}}= \frac{1}{12} & 1 \\ \hline \end{array} \)
Dystrybuanta zmiennej losowej \( X \)
\( F_{X}(x) = \begin{cases} 0, \ \ x\leq 0 \\ \frac{5}{12}, \ \ 0 < x \leq 1 \\ \frac{11}{12}, \ \ 1< x \leq 2 \\ 1, \ \ x> 2 \end{cases} \)
Wartość oczekiwana zmiennej losowej \( X \)
\( E(X) = \sum_{i=0}^{2} x_{i}p_{i} = 0\cdot \frac{5}{12} + 1 \cdot \frac{6}{12} + 2\cdot \frac{1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}.\)
Wariancja zmiennej losowej \( X \)
\( V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 0^2\cdot \frac{5}{12} + 1^2\cdot \frac{6}{12} + 2^2\cdot \frac{1}{12} - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{7}{18}.\)
Sprawdzenie wartości wariancji, stosując jej definicję jako średniej kwadratów odchyleń od średniej.
\( V(X) = \sum_{i=0}^{2} [x_{i}-E(X)]^2\cdot p_{i} = \left [\left( 0 -\frac{2}{3}\right)^2\cdot \frac{5}{12} + \left(1 - \frac{2}{3}\right)^2 \cdot \frac{6}{12}+ \left(2 -\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \frac{1}{12}\right] = \frac{4}{9}\cdot \frac{5}{12} + \frac{1}{9}\cdot \frac{6}{12}+ \frac{16}{9}\cdot \frac{1}{12}.= \frac{20}{108}+\frac{6}{108}+\frac{16}{108}= \frac{42}{108}= \frac{7}{18}.\)