forum.zadania.info

W płaszczyźnie liczb zespolonych C narysować zbiór B
\(B={z \in C: \pi <arg(z-2+i)^3 \le 2\pi}\)
Jak za to się zabrać i zrobic?

Jedyny pomysł jaki mam to zastosować wzór na potęgi liczby zespolonej.

Korzystamy z własności argumentu głównego liczb zespolonych.

\( \textbf B = \{ z\in \cc : \pi \leq \arg[ z -(2-i)]^3 \leq 2\pi \} = \{ z\in \cc: \pi \leq 3\arg[z -(2-i)]+2k\pi \leq 2\pi,\ \ k\in \zz\} = \)
\( = \{ z\in \cc : \frac{\pi}{3} -\frac{2k\pi}{3} \leq \arg[z - (2-i)] \leq \frac{2\pi}{3}- \frac{2k\pi}{3}, \ \ k\in \zz \} \)

Biorąc pod uwagę definicję argumentu głównego liczby zespolonej \( 0 \leq \arg[ z -(2-i)] \leq 2\pi \) - powyższą nierówność zapisujemy kolejno dla \( k = 0,-1, -2, \) otrzymując sumę trzech stożków z tworzącymi (linie ciągłe)

\( \textbf B = \{z \in \cc: \frac{\pi}{3} \leq \arg[z-(2-i)] \leq \frac{2}{3}\pi\} \cup \{z \in \cc: \pi \leq \arg[z-(2-i)] \leq \frac{4}{3}\pi\} \cup \{z \in \cc: \frac{5\pi}{3} \leq \arg[z-(2-i)] \leq 2\pi \} \ \ (*)\)

Proszę narysować na płaszczyźnie \( \cc \) fragment prostej \( z - (2-i)\) w I ćwiartce układu współrzędnych i od tej prostej przeciwnie do wskazówek zegara narysować trzy stożki określone nierównościami \( (*).\)

Jeśli dobrze rozumiem pkt to będzie (2-i) jest to x=2, y=-i?
Zgłupiałem przez odpowiedz do zadania która sugerowała ze pkt to x=1i y=-i

Wg mnie:
\(B=\{z \in \mathbb{C}: \pi <\arg(z-2+i)^3 \le 2\pi\}=\{z \in \mathbb{C}: {\pi\over3} <\arg(z-2+i) \le {2\pi\over3}\}
\)

Jeśli \(z=x+yi\), to punkt \((x-2, y+1)\) powinien być nie niżej niż prosta \(y=-\sqrt3x\) i ponad prostą \(y=\sqrt3x\) czyli powinno zajść:
\[y+1>\sqrt3(x-2) \wedge y+1\ge-\sqrt3(x-2)\]
Pozdrawiam
PS. Rysunek