Równanie Riccatiego
: 06 lut 2024, 15:22
Równanie Riccatiego: \(x'-5x-x^2=6\)
\( x'(t) - 5x(t) - x^2(t) = 6 \)
Pierwsza metoda - jako równanie o zmiennych rozdzielonych
\( x'(t) = x^2(t) +5x(t) +6 \ \ \mid \cdot \frac{1}{x^2(t)+5x(t)+6} \)
\( \frac{x'(t)}{x^2(t)+5x(t)+6} = 1 \)
\( \frac{dx}{x^2 +5x +6} = dt \)
\( \int \frac{dx}{x^2+5x +6} = \int dt \)
\( \int \frac{dx}{(x+3)(x+2)} = \int dt \)
Po rozkładzie funkcji podcałkowej na sumę ułamków prostych
\( \int -\frac{1}{x+3}dx + \int \frac{1}{x+2}dx = \int dt \)
\( -\ln|x+3| + \ln|x+2| = t + A, \ \ A \)-stała
\( \ln\left| \frac{x+2}{x+3}\right| = t + A \)
\( \frac{x+2}{x+3} = \pm Ce^{t}, \ \ C = e^{A} \) - stała.
Druga metoda - jako równanie J. Ricattiego
Brak w treści zadania rozwiązania szczególnego \( x_{1}(t). \)