Optymalizacja - poziom rozszerzony graniastosłupy
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- Szymonix1818
- Dopiero zaczynam
- Posty: 13
- Rejestracja: 04 lut 2024, 19:51
- Podziękowania: 4 razy
- Płeć:
Optymalizacja - poziom rozszerzony graniastosłupy
Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne, których objętość jest równa 16. Wyznacz, dla jakich długości krawędzi pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa będzie najmniejsze oraz oblicz to najmniejsze pole.
wyznaczyłem już tak;
Pp = \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}
V = \frac{1}{3} \cdot Pp \cdot H
Pc = 3 \cdot a \cdot H + 2 \cdot Pp
16= \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot H
192= a^2 \cdot H
64 \sqrt{3} =a^2 \cdot H
H= \frac{64 \sqrt{3}}{a^2}
podstawiamy H i mamy
Pc= \sqrt{3}( \frac{192}{a} + \frac{a^2}{2} )
teraz liczymy pochodną czyli:
a \in (0,+ \infty )
f'(x)= \frac{2a \cdot 2 - a^2 \cdot 0}{4} + \frac{0 \cdot a - 192}{a^2}
teraz porównałem ją do 0
i wyszło że a=4 \sqrt[3]{3}
czyli:
funkcja mniejsza od zera dla a \in (0,4 \sqrt[3]{3} )
funkcja wjększa od zera dla a \in ( 4 \sqrt[3]{3} , \infty )
czyli:
funkcja maleje w przedziale (0,4 \sqrt[3]{3} >
funkcja rośnie w przedziale < 4 \sqrt[3]{3} , \infty )
i teraz nie jestem w stanie obliczyć H gdyż ja podstawiam pod wzór H= \frac{64 \sqrt{3}}{a^2}
wydaje mi się, że będzie to H= \frac{4 \sqrt{3} }{ \sqrt[3]{9} } ale nie jestem pewien
Prosze bardzo o pomoc
wyznaczyłem już tak;
Pp = \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}
V = \frac{1}{3} \cdot Pp \cdot H
Pc = 3 \cdot a \cdot H + 2 \cdot Pp
16= \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot H
192= a^2 \cdot H
64 \sqrt{3} =a^2 \cdot H
H= \frac{64 \sqrt{3}}{a^2}
podstawiamy H i mamy
Pc= \sqrt{3}( \frac{192}{a} + \frac{a^2}{2} )
teraz liczymy pochodną czyli:
a \in (0,+ \infty )
f'(x)= \frac{2a \cdot 2 - a^2 \cdot 0}{4} + \frac{0 \cdot a - 192}{a^2}
teraz porównałem ją do 0
i wyszło że a=4 \sqrt[3]{3}
czyli:
funkcja mniejsza od zera dla a \in (0,4 \sqrt[3]{3} )
funkcja wjększa od zera dla a \in ( 4 \sqrt[3]{3} , \infty )
czyli:
funkcja maleje w przedziale (0,4 \sqrt[3]{3} >
funkcja rośnie w przedziale < 4 \sqrt[3]{3} , \infty )
i teraz nie jestem w stanie obliczyć H gdyż ja podstawiam pod wzór H= \frac{64 \sqrt{3}}{a^2}
wydaje mi się, że będzie to H= \frac{4 \sqrt{3} }{ \sqrt[3]{9} } ale nie jestem pewien
Prosze bardzo o pomoc
- Jerry
- Expert
- Posty: 3538
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1943 razy
Re: pomocy OPTYMALIZACJA poziom rozszerzony
Kiepsko się czyta kod bez tagów...
Wydaje mi się, że w pewnym momencie zgubiłeś \(\sqrt3\)
Bez pochodnej, z wykorzystaniem porządku pomiędzy średnimi:
\[P_G=\sqrt3\cdot\left({a^2\over2}+{32\over a}+{32\over a}\right)\ge\sqrt3\cdot3\sqrt[3]{{a^2\over2}\cdot{32\over a}\cdot{32\over a}}\]
i równość zachodzi dla
\[{a^2\over2}={32\over a}={32\over a}\iff a = 4;\ \ h={4\sqrt3\over3}\]
Pozdrawiam
Wydaje mi się, że w pewnym momencie zgubiłeś \(\sqrt3\)
Bez pochodnej, z wykorzystaniem porządku pomiędzy średnimi:
\[P_G=\sqrt3\cdot\left({a^2\over2}+{32\over a}+{32\over a}\right)\ge\sqrt3\cdot3\sqrt[3]{{a^2\over2}\cdot{32\over a}\cdot{32\over a}}\]
i równość zachodzi dla
\[{a^2\over2}={32\over a}={32\over a}\iff a = 4;\ \ h={4\sqrt3\over3}\]
Pozdrawiam
- Szymonix1818
- Dopiero zaczynam
- Posty: 13
- Rejestracja: 04 lut 2024, 19:51
- Podziękowania: 4 razy
- Płeć:
Re: pomocy OPTYMALIZACJA poziom rozszerzony
Jak te taki się ustawia bo pierwszy raz coś pisze tutaj a mogę szybo napisać jeśli chcesz aby było bardziej przejrzyście
- Jerry
- Expert
- Posty: 3538
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1943 razy
Re: pomocy OPTYMALIZACJA poziom rozszerzony
Kod: Zaznacz cały
[tex] \sqrt{3} [/tex]
Jeśli możesz jeszcze edytować swój post, to go po prostu popraw.
Pozdrawiam
PS. Zrozumiałeś mój wcześniejszy post ?
- Szymonix1818
- Dopiero zaczynam
- Posty: 13
- Rejestracja: 04 lut 2024, 19:51
- Podziękowania: 4 razy
- Płeć:
Re: pomocy OPTYMALIZACJA poziom rozszerzony
Nie zrozumiałem ale zaraz to przeanalizuje i ci napisze ładnie zadanie.
- Szymonix1818
- Dopiero zaczynam
- Posty: 13
- Rejestracja: 04 lut 2024, 19:51
- Podziękowania: 4 razy
- Płeć:
Re: pomocy OPTYMALIZACJA poziom rozszerzony
Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne, których objętość jest równa 16. Wyznacz, dla jakich długości krawędzi pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa będzie najmniejsze oraz oblicz to najmniejsze pole.
wyznaczyłem już tak;
\(Pp = \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}\)
\(V = \frac{1}{3} \cdot Pp \cdot H\)
\(Pc = 3 \cdot a \cdot H + 2 \cdot Pp\)
\(16= \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot H\)
\(192= a^2 \cdot H\)
\(64 \sqrt{3} =a^2 \cdot H\)
\(H= \frac{64 \sqrt{3}}{a^2}\)
podstawiamy H i mamy
\(Pc= \sqrt{3}( \frac{192}{a} + \frac{a^2}{2} )\)
teraz liczymy pochodną czyli:
\(a \in (0,+ \infty )\)
\(f'(x)= \frac{2a \cdot 2 - a^2 \cdot 0}{4} + \frac{0 \cdot a - 192}{a^2}\)
teraz porównałem ją do 0
i wyszło że \(a=4 \sqrt[3]{3}\)
czyli:
funkcja mniejsza od zera dla \(a \in (0,4 \sqrt[3]{3} )\)
funkcja wjększa od zera dla \(a \in ( 4 \sqrt[3]{3} , \infty )\)
czyli:
funkcja maleje w przedziale \((0,4 \sqrt[3]{3} >\)
funkcja rośnie w przedziale\( < 4 \sqrt[3]{3} , \infty )\)
i teraz nie jestem w stanie obliczyć H gdyż ja podstawiam pod wzór H= \frac{64 \sqrt{3}}{a^2}
wydaje mi się, że będzie to \(H= \frac{4 \sqrt{3} }{ \sqrt[3]{9} }\) ale nie jestem pewien
Prosze bardzo o pomoc
wyznaczyłem już tak;
\(Pp = \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}\)
\(V = \frac{1}{3} \cdot Pp \cdot H\)
\(Pc = 3 \cdot a \cdot H + 2 \cdot Pp\)
\(16= \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot H\)
\(192= a^2 \cdot H\)
\(64 \sqrt{3} =a^2 \cdot H\)
\(H= \frac{64 \sqrt{3}}{a^2}\)
podstawiamy H i mamy
\(Pc= \sqrt{3}( \frac{192}{a} + \frac{a^2}{2} )\)
teraz liczymy pochodną czyli:
\(a \in (0,+ \infty )\)
\(f'(x)= \frac{2a \cdot 2 - a^2 \cdot 0}{4} + \frac{0 \cdot a - 192}{a^2}\)
teraz porównałem ją do 0
i wyszło że \(a=4 \sqrt[3]{3}\)
czyli:
funkcja mniejsza od zera dla \(a \in (0,4 \sqrt[3]{3} )\)
funkcja wjększa od zera dla \(a \in ( 4 \sqrt[3]{3} , \infty )\)
czyli:
funkcja maleje w przedziale \((0,4 \sqrt[3]{3} >\)
funkcja rośnie w przedziale\( < 4 \sqrt[3]{3} , \infty )\)
i teraz nie jestem w stanie obliczyć H gdyż ja podstawiam pod wzór H= \frac{64 \sqrt{3}}{a^2}
wydaje mi się, że będzie to \(H= \frac{4 \sqrt{3} }{ \sqrt[3]{9} }\) ale nie jestem pewien
Prosze bardzo o pomoc
- Jerry
- Expert
- Posty: 3538
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1943 razy
Re: pomocy OPTYMALIZACJA poziom rozszerzony
Po pierwsze: to miał być graniastosłup (tego nie zauważyłem). Po drugie:Szymonix1818 pisze: ↑04 lut 2024, 21:45 \(16= \color{red}{\frac{1}{3}} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot H\)
\(192= a^2 \cdot H\)
\(192= a^2\color{red}{\sqrt3} \cdot H\)
i dobrze mi się wydawało... I te błędy utrudniły Ci dalsze rachunki.
Pozdrawiam
- Szymonix1818
- Dopiero zaczynam
- Posty: 13
- Rejestracja: 04 lut 2024, 19:51
- Podziękowania: 4 razy
- Płeć:
Re: pomocy OPTYMALIZACJA poziom rozszerzony
czyli jak mam:
\(Pc = \sqrt{3} ( \frac{192}{a} + \frac{a^2}{2}) \)
to wtedy rozdzielam to na takie wyrażenie \(Pc= \sqrt{3} ( \frac{32}{a} + \frac{32}{a} + \frac{32}{a} + \frac{32}{a} + \frac{32}{a} + \frac{32}{a} +\frac{a^2}{2})\)
czyli tak jak napisałeś wcześniej że \(a=4 \) czyli \(H=8 \sqrt{3}\)
co daje nam potem \(Pc= 96 \sqrt{3} \)
\(Pc = \sqrt{3} ( \frac{192}{a} + \frac{a^2}{2}) \)
to wtedy rozdzielam to na takie wyrażenie \(Pc= \sqrt{3} ( \frac{32}{a} + \frac{32}{a} + \frac{32}{a} + \frac{32}{a} + \frac{32}{a} + \frac{32}{a} +\frac{a^2}{2})\)
czyli tak jak napisałeś wcześniej że \(a=4 \) czyli \(H=8 \sqrt{3}\)
co daje nam potem \(Pc= 96 \sqrt{3} \)
- Szymonix1818
- Dopiero zaczynam
- Posty: 13
- Rejestracja: 04 lut 2024, 19:51
- Podziękowania: 4 razy
- Płeć:
Re: pomocy OPTYMALIZACJA poziom rozszerzony
Okej widze to graniastosłup nie ostrosłup. źle najpierw sobie napisałem i leciałem z tym błędemJerry pisze: ↑04 lut 2024, 21:54Po pierwsze: to miał być graniastosłup (tego nie zauważyłem). Po drugie:Szymonix1818 pisze: ↑04 lut 2024, 21:45 \(16= \color{red}{\frac{1}{3}} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot H\)
\(192= a^2 \cdot H\)
\(192= a^2\color{red}{\sqrt3} \cdot H\)
i dobrze mi się wydawało... I te błędy utrudniły Ci dalsze rachunki.
Pozdrawiam
- Szymonix1818
- Dopiero zaczynam
- Posty: 13
- Rejestracja: 04 lut 2024, 19:51
- Podziękowania: 4 razy
- Płeć:
- Szymonix1818
- Dopiero zaczynam
- Posty: 13
- Rejestracja: 04 lut 2024, 19:51
- Podziękowania: 4 razy
- Płeć:
Re: pomocy OPTYMALIZACJA poziom rozszerzony
\(Pc=?\)
\(Pp= \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \)
\(V= \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot H\)
\(16=\frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot H\)
\(64= a^2 \sqrt{3} \cdot H\)
\(H= \frac{64 \sqrt{3} }{3a^2} \)
\(Pc= \sqrt{3} ( \frac{64}{a} + \frac{a^2}{2} )\)
i teraz można to obliczyć na 2 sposoby albo pochodna, którą potem przyrównujesz do zera aby obliczyć minimum lokale dla \(a \in (0, \infty )\)
albo poprzez podstawianie.
\(a=4 \) bo\( Pc= \sqrt{3}( \frac{32}{a} + \frac{32}{a} + \frac{a^2}{2} )\) to co napisał Jerry
a przez pochodną będzie tak
\(f(x)= ( \frac{64}{a} + \frac{a^2}{2} )\)
\(f'(x)= \frac{0 \cdot a -64 \cdot 1}{a^2} + \frac{2a \cdot 2 - a^2 \cdot 0}{4} \)
\(f'(x)= - \frac{64}{a^2} + a\)
porównujemy do 0
\(\frac{-64}{a^2} + a =0\)
\(\frac{-64}{a^2}= -a / \cdot a^2\)
\(64=a^3\)
\(a=4\)
i teraz musimy to napisać na maturze
funkcja mniejsza od zera dla\( a \in (0,4)\)
funkcja wjększa od zera dla \( a \in ( 4, \infty )\)
funkcja maleje w przedziale \((0,4>\)
funkcja rośnie w przedziale \( <4 , \infty )\)
f minimum w \(a=4\)
czyli:
podstawiamy wszędzie\( a=4\)
\(H= \frac{64 \sqrt{3} }{3a^2} = \frac{64 \sqrt{3} }{3 \cdot 8} = \frac{4 \sqrt{3} }{3} \)
\(Pc= \sqrt{3} ( \frac{64}{4}+ \frac{16}{2} ) = 24 \sqrt{3} \)
Dziękuje za pomoc Jerry
-
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: pomocy OPTYMALIZACJA poziom rozszerzony
albo:Szymonix1818 pisze: ↑04 lut 2024, 22:52 a przez pochodną będzie tak
\(f(x)= ( \frac{64}{a} + \frac{a^2}{2} )\)
\( f(a) = ( \frac{64}{a} + \frac{a^2}{2} ) \)
albo:
\( f(x) = ( \frac{64}{x} + \frac{x^2}{2} ) \)
ale na pewno nie:
\(f(x)= ( \frac{64}{a} + \frac{a^2}{2} )\)
- Szymonix1818
- Dopiero zaczynam
- Posty: 13
- Rejestracja: 04 lut 2024, 19:51
- Podziękowania: 4 razy
- Płeć:
Re: pomocy OPTYMALIZACJA poziom rozszerzony
Tak to prawda powinno być a zamiast xIcanseepeace pisze: ↑04 lut 2024, 23:11albo:Szymonix1818 pisze: ↑04 lut 2024, 22:52 a przez pochodną będzie tak
\(f(x)= ( \frac{64}{a} + \frac{a^2}{2} )\)
\( f(a) = ( \frac{64}{a} + \frac{a^2}{2} ) \)
albo:
\( f(x) = ( \frac{64}{x} + \frac{x^2}{2} ) \)
ale na pewno nie:
\(f(x)= ( \frac{64}{a} + \frac{a^2}{2} )\)
- Jerry
- Expert
- Posty: 3538
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1943 razy
Re: pomocy OPTYMALIZACJA poziom rozszerzony
Raczej funkcja pochodnej albo po prostu pochodnaSzymonix1818 pisze: ↑04 lut 2024, 22:52 ...funkcja mniejsza od zera dla \( a \in (0,4)\)
funkcja wjększa od zera dla \( a \in ( 4, \infty )\)...
I dalej - wg mnie OK.
Pozdrawiam