Algorytm Euklidesa

[Bartek216]

Potrzebuję pomocy w znalezieniu NWD dla \(( 6n^6+10n^5+4n^3+n; 3n^3+5n^2+2)\)

[Jerry]

\( 6n^6+10n^5+4n^3+n=2n^3( 3n^3+5n^2+2)+n\\
3n^3+5n^2+2=n(3n^2+5n)+2\)
Skąd wnioski

Pozdrawiam

[kalo89]

A jak te wnioski zauważyć?

[Jerry]

Dla liczb
\(a=6n^6+10n^5+4n^3+n,\\ b=3n^3+5n^2+2\)
gdzie \(n\in\nn_+\) mamy, z algorytmu Euklidesa i mojego poprzedniego posta,:
\[NWD(a,b)=NWD(b,n)=NWD(n,2)=\begin{cases}2&\text{jeżeli}&2\mid n\\ 1&\text{jeżeli}&2\nmid n\end{cases} \]
Pozdrawiam

[janusz55]

Największy wspólny dzielnik wielomianów \( f, g, \ \ NWD(f, g).\)

jest to taki niezerowy wielomian \( h \) maksymalnego stopnia, który posiada tę własność, że \( h|f, \ \ h|g.\)

\( f(n) = 6n^6 +10n^5 +4n^3+n , \ \ g(n) = 3n^3 +5n^2 + 2.\)

Algorytm Euklidesa

\( 1. \ \ f(n): g(n) \):

\( (6n^6 +10n^5 +4n^3 +n):(3n^3+5n^2+2) = 2n^3 \\ \)
\( -6n^6-10n^5-4n^3 \\ \)
----------------------------
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n \)

\( f(n) = 2n^3 \cdot g(n) + n \)

Stopień wielomianu reszty jest mniejszy od wielomianu dzielnika \( g \), ale nie równy zero.

Dzielimy dzielnik przez resztę

\( ( 3n^3 +5n^2 +2): n = 3n^2 +5n \)
\( -3n^3 \)
-----------------------
\( \ \ \ \ 5n^2 +2 \)
\( -5n^2 \)
--------------------
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2 \)

\( g(n) = (3n^2 +5)h(n)+2 = (3n^2 +5)n + 2 \)

Dzielimy dzielnik - wielomian \( h(n) \) przez resztę

\( h(n) : 2 = \frac{n}{2} \neq 0 . \)

Wielomiany \( f(n) = 6n^6 +10n^5 +4n^3+n, \ \ g(n) = 3n^3 +5n^2 + 2.\) są względem pierwsze \( NWD(f, g) \equiv 1.\)

[kalo89]

gdzie \(n\in\nn_+\) mamy, z algorytmu Euklidesa i mojego poprzedniego posta,:
\[NWD(a,b)=NWD(b,n)=NWD(n,2)=\begin{cases}2&\text{jeżeli}&2\mid n\\ 1&\text{jeżeli}&2\nmid n\end{cases} \]

To odpowiedź?

[Jerry]

Tak, dla liczb. Dla wielomianów - post janusz55.

Pozdrawiam