Maksymalna objętość stożka
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Maksymalna objętość stożka
Znaleźć trojkat o danym obwodzie 2p, który obracając się dookoła jednego ze swoich boków tworzy bryłę o największej objętości.
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1635
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 424 razy
Re: Maksymalna objętość stożka
Założenie:
\( x+y +z = 2p \)
Proponuję skorzystać ze wzoru Herona na pole trójkąta
\( |P| = \sqrt{p(p-x)(p-y)(p-z)}\)
\( \frac{1}{2}x\cdot h = \sqrt{p(p-x)(p-y)(p-z)} \)
\( h = \frac{2 \sqrt{p(p-x)(p-y)(p-z)}}{x} \)
Objętość dwóch stożków złożonych z sobą podstawami
\( |V| = \frac{1}{3}\pi h^2x = \frac{4\pi p (p-x)(p-y)(p-z)}{3x} \)
Metoda mnożników J. L. Lagrange'a
Znajdujemy maksimum funkcji
\( \mathcal{L}(x,y, z, \lambda) = \frac{4\pi p (p-x)(p-y)(p-z)}{3x} +\lambda (x+y+z -2p).\)
przy ograniczeniu: \( x+y + z -2p = 0.\)
\( x+y +z = 2p \)
Proponuję skorzystać ze wzoru Herona na pole trójkąta
\( |P| = \sqrt{p(p-x)(p-y)(p-z)}\)
\( \frac{1}{2}x\cdot h = \sqrt{p(p-x)(p-y)(p-z)} \)
\( h = \frac{2 \sqrt{p(p-x)(p-y)(p-z)}}{x} \)
Objętość dwóch stożków złożonych z sobą podstawami
\( |V| = \frac{1}{3}\pi h^2x = \frac{4\pi p (p-x)(p-y)(p-z)}{3x} \)
Metoda mnożników J. L. Lagrange'a
Znajdujemy maksimum funkcji
\( \mathcal{L}(x,y, z, \lambda) = \frac{4\pi p (p-x)(p-y)(p-z)}{3x} +\lambda (x+y+z -2p).\)
przy ograniczeniu: \( x+y + z -2p = 0.\)
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3544
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1949 razy
Re: Maksymalna objętość stożka
Albo:
Jeśli boki trójkąta mają długości \(a=x>0,\ b=y>0,\ 0<c=h=2p-x-y<p\) i obracamy ten trójkąt dookoła boku \(c\), to
\[f(x,y)=\frac{(p-x)(p-y)(x+y-p)}{2p-x-y}\]
na obszarze: \(D=\{(x,y)\in\rr^2;\ x>0\wedge y>0\wedge 0<2p-x-y<p\}\) i sformułować odpowiedź, ale to już nie ja.
janusz55 pewnie chętnie policzy różniczki...
Pozdrawiam
Jeśli boki trójkąta mają długości \(a=x>0,\ b=y>0,\ 0<c=h=2p-x-y<p\) i obracamy ten trójkąt dookoła boku \(c\), to
- wysokość trójkąta opuszczona na bok \(c\) jest promieniem podstawy stożka / wspólnej podstawy stożków i jest równa (liczone analogicznie jak w poście janusz55)
\[r=\frac{2\sqrt{p(p-x)(p-y)(x+y-p)}}{2p-x-y}\] - objętość bryły obrotowej można określić jako funkcję dwóch zmiennych:
\[V(x,y)=\frac{4\pi p(p-x)(p-y)(x+y-p)}{2p-x-y}\]
\[f(x,y)=\frac{(p-x)(p-y)(x+y-p)}{2p-x-y}\]
na obszarze: \(D=\{(x,y)\in\rr^2;\ x>0\wedge y>0\wedge 0<2p-x-y<p\}\) i sformułować odpowiedź, ale to już nie ja.
janusz55 pewnie chętnie policzy różniczki...
Pozdrawiam
PS.
Zapytałem Wolframa przy \(p=6\). Odpowiedział: \(x=y={9\over2}={3\over4}\cdot6\)