Równanie różniczkowe
: 01 lut 2024, 15:44
Znaleźć rozwiązania następujących Równanie różniczkowe oraz zagadnień początkowych: \( y' = \frac{x^2 + 3y^2}{2xy}, y(1) = 2 \)
\( y' = \frac{x^2+y^2}{2xy}, \ \ y(1) = 2.\)
\( y' = \frac{x^2}{2xy} + \frac{y^2}{2xy} \)
\( y' = \frac{x}{2y} + \frac{y}{2x} = \frac{1}{2}\left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right).\)
Równanie jednorodne.
Podstawienia
\( \frac{y}{x} = u, \ \ y = xu, \ \ y' = u + xu.'\)
\( u + xu' = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{u} + u \right)\)
\( u + xu' = \frac{1}{2}\frac{1 +u^2}{u} \)
\( xu' = \frac{1}{2}\frac{1+u^2}{u} -u \)
\( xu' = \frac{1}{2} \left( \frac{1 +u^2 -u^2}{u}\right)\)
\( xu' = \frac{1}{2u}. \)
Rozdzielenie zmiennych.
\( \frac{du}{\frac{1}{u}} = \frac{1}{2}\frac{dx}{x} \)
Obustronne całkowanie
\( \int udu = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x} \)
\( \frac{u^2}{2} = \frac{1}{2} \ln|x| + C.\)
\( u = \pm \sqrt{\ln|x| + C} \)
Powrót co zmiennej \( y \)
\( y = \pm x \sqrt{\ln|x| + C}.\) rozwiązanie ogólne.
Rozwiązanie szczególne \( y_{s}.\)
\( 2 = \pm 1 \cdot \sqrt{\ln(1) + C} \ \ |^2 \)
\( 4 = C.\)
\( y_{s} = \pm x \sqrt{\ln|x| + 4}.\)