Równanie różniczkowe
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Równanie różniczkowe
Znaleźć rozwiązania następujących Równanie różniczkowe oraz zagadnień początkowych: \( x' = -2xt + 6t\sqrt{x} \)
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1591
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 421 razy
Re: Równanie różniczkowe
\( x' = -2xt + 6t\sqrt{x} \)
Zapisujemy równanie w notacji G. Leibniza.
\( {dx}{dt} = 2t(3\sqrt{x} -x), \ \ x>0.\)
Rozdzielamy zmienne
\( \frac{dx}{(3\sqrt{x} -x)} = 2t dt\)
Całkujemy obie strony
\( \int \frac{dx}{3\sqrt{x} -x} dx = 2\int tdt.\)
Podstawienia
\( \sqrt{x} = u, \ \ x = u^2, \ \ dx = 2udu.\)
\( \int\frac{2u}{3u -u^2} = 2 \int \frac{u}{u(3-u)} du = 2\int t dt \)
\( \int \frac{1}{3-u} du = \int tdt \)
\( -\ln(3 -u) = \frac{t^2}{2} + C \)
\( \ln\left(\frac{1}{3-u}\right) = \frac{t^2}{2} + C\)
\( \frac{1}{3-u} = e^{\frac{t^2}{2} + C} \)
\( 3- u = \frac{1}{e^{\frac{t^2}{2} +C}} \)
\( u = \frac{1}{e^{\frac{t^2}{2} +C}} +3 \)
\( x(t) = \left( \frac{1}{e^{\frac{t^2}{2}+C}} +3\right)^2. \)
Zapisujemy równanie w notacji G. Leibniza.
\( {dx}{dt} = 2t(3\sqrt{x} -x), \ \ x>0.\)
Rozdzielamy zmienne
\( \frac{dx}{(3\sqrt{x} -x)} = 2t dt\)
Całkujemy obie strony
\( \int \frac{dx}{3\sqrt{x} -x} dx = 2\int tdt.\)
Podstawienia
\( \sqrt{x} = u, \ \ x = u^2, \ \ dx = 2udu.\)
\( \int\frac{2u}{3u -u^2} = 2 \int \frac{u}{u(3-u)} du = 2\int t dt \)
\( \int \frac{1}{3-u} du = \int tdt \)
\( -\ln(3 -u) = \frac{t^2}{2} + C \)
\( \ln\left(\frac{1}{3-u}\right) = \frac{t^2}{2} + C\)
\( \frac{1}{3-u} = e^{\frac{t^2}{2} + C} \)
\( 3- u = \frac{1}{e^{\frac{t^2}{2} +C}} \)
\( u = \frac{1}{e^{\frac{t^2}{2} +C}} +3 \)
\( x(t) = \left( \frac{1}{e^{\frac{t^2}{2}+C}} +3\right)^2. \)