dziedzina funkcji

[yelan]

jak wyznaczyć tutaj dziedzinę funkcji? (przepraszam nie wiem czemu takie coś się zadziało, w nawiasach są podstawy)
\[log_(sinx) cosx-log_( cosx )sinx\]

[yelan]

https://imgur.com/a/nGwfAvV tu jest lepiej

[Jerry]

jak wyznaczyć tutaj dziedzinę funkcji?
\[\log_{\sin x} \cos x-\log_{\cos x }\sin x\]

\[D=\{x\in\rr;\ \sin x>0\wedge \sin x\ne1\wedge\cos x>0\wedge \cos x\ne1\wedge \sin x>0\}\\
D= \bigcup\limits_{k\in\zz}\left(0+k\cdot2\pi; {\pi\over2}+k\cdot2\pi\right) \]
Pozdrawiam
PS.

...przepraszam nie wiem czemu takie coś się zadziało, w nawiasach są podstawy...

Zamiast nawiasów okrągłych powinny być klamrowe.

[yelan]

\[ \sqrt{ \log_{sinx}cosx- \log_{cosx}sinx } \] a jakby to było jeszcze wszystko pod pierwiastkiem? jak to rozwiązać? Jedyny jaki pomysł mam to zamiana podstawy ale dalej mi nie wychodzi
\[ \log _{sinx}cosx-\log_{cosx}sinx \ge 0
\\ \frac{1}{\log_{cosx}sinx } -\log_{cosx}sinx \ge 0, t=\log_{cosx}sinx
\\ \frac{1}{t}-t\ge 0
\\ \frac{1-t^2}{t} \ge 0
\\(...)
\\ \log_{cosx}sinx \ge 0 \wedge \log_{cosx}sinx \in <-1;1> \]jak to rozwiązać?

[Jerry]

\[ \frac{1}{\log_{cosx}sinx } -\log_{cosx}sinx \ge 0, t=\log_{cosx}sinx\]

Zauważ, że \(t>0\). Zatem

\[ \frac{1}{t}-t\ge 0\]

jest równoważne
\[0<t\le1\\ \log_{\cos x}1<\log_{\cos x}\sin x\le\log_{\cos x}\cos x\\
1>\sin x\ge\cos x\]
W połączeniu z poprzednimi warunkami dziedziny, dla \(k\in\zz\), mamy:
\[{\pi\over4}+k\cdot2\pi\le x<{\pi\over2}+k\cdot2\pi\]
Pozdrawiam

[yelan]

jest równoważne
\[0<t\le1\\ \log_{\cos x}1<\log_{\cos x}\sin x\le\log_{\cos x}\cos x\\
1>\sin x\ge\cos x\]

a czemu tutaj są odwrócone nierówności?

[Jerry]

Bo podstawa logarytmu jest mniejsza od jedności i taka funkcja logarytmiczna jest malejąca, zatem porządek pomiędzy argumentami jest przeciwny niż porządek pomiędzy wartościami funkcji.

Pozdrawiam