Równianie II rzędu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1584
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 415 razy
Re: Równianie II rzędu
\( y^{''} - 3y' +2y = t+1 \ \ (*) \)
Jest to równanie różniczkowe zwyczajne II rzędu liniowe - niejednorodne
Najpierw znajdujemy całkę ogólną równania jednorodnego
\( y^{''} - 3y' +2y = 0.\)
Równanie charakterystyczne
\( \lambda^2 -3\lambda + 2 = (\lambda -1)(\lambda -2) = 0\)
\( \lambda_{1} = 1, \ \ \lambda_{2} = 2.\)
Całka ogólna równania jednorodnego (CORJ)
\( y_{o} = C_{1} e^{t} + C_{2}e^{2t}.\)
Całkę szczególną równania niejednorodnego (CSRN) znajdziemy metodą przewidywania.
Po prawej stronie równania \( (*) \) występuje wielomian pierwszego stopnia \( f(t) = t+1 \).
Całkę szczególną równania niejednorodnego (CSRN) przewidujemy w postaci wielomianu pierwszego stopnia \( w(t) = at + b, \ \ a,b \in \rr.\)
Mamy \( w'(t) = a, \ \ w^{''} (t) = 0 .\)
\( 0 - 3a + 2(at + b) \equiv t+1 \)
\( 2at - 3a +2b \equiv t +1 \)
Stąd
\( \begin{cases} 2a = 1 \\ -3a +2b = 1 \end{cases} \)
\( a= \frac{1}{2}, \ \ b = \frac{5}{4}.\)
\( w(t) = \frac{1}{2} t +\frac{5}{4}.\)
Całka ogólna równania niejednorodnego (CORN) jest sumą całek CORJ + CSRN.
\( y(t) = C_{1} e^{t} + C_{2}e^{2t} + \frac{1}{2} t + \frac{5}{4}.\)
Jest to równanie różniczkowe zwyczajne II rzędu liniowe - niejednorodne
Najpierw znajdujemy całkę ogólną równania jednorodnego
\( y^{''} - 3y' +2y = 0.\)
Równanie charakterystyczne
\( \lambda^2 -3\lambda + 2 = (\lambda -1)(\lambda -2) = 0\)
\( \lambda_{1} = 1, \ \ \lambda_{2} = 2.\)
Całka ogólna równania jednorodnego (CORJ)
\( y_{o} = C_{1} e^{t} + C_{2}e^{2t}.\)
Całkę szczególną równania niejednorodnego (CSRN) znajdziemy metodą przewidywania.
Po prawej stronie równania \( (*) \) występuje wielomian pierwszego stopnia \( f(t) = t+1 \).
Całkę szczególną równania niejednorodnego (CSRN) przewidujemy w postaci wielomianu pierwszego stopnia \( w(t) = at + b, \ \ a,b \in \rr.\)
Mamy \( w'(t) = a, \ \ w^{''} (t) = 0 .\)
\( 0 - 3a + 2(at + b) \equiv t+1 \)
\( 2at - 3a +2b \equiv t +1 \)
Stąd
\( \begin{cases} 2a = 1 \\ -3a +2b = 1 \end{cases} \)
\( a= \frac{1}{2}, \ \ b = \frac{5}{4}.\)
\( w(t) = \frac{1}{2} t +\frac{5}{4}.\)
Całka ogólna równania niejednorodnego (CORN) jest sumą całek CORJ + CSRN.
\( y(t) = C_{1} e^{t} + C_{2}e^{2t} + \frac{1}{2} t + \frac{5}{4}.\)