Płaszczyzna

[Pawm32]

Dane są, punkty \( B = (−1, 0, 3), C = (3, 2, −1)\). Znaleźć równanie płaszczyzny
przechodzącej przez punkty B, C i równoległej do prostej \(x = 1−t, y = 2+t, z = 3 + 2t.\)

[janusz55]

Równanie szukanej płaszczyzny

\( \pi: \ \ ax +by + cz + d = 0.\)

Punkt \( B \) należy do płaszczyzny.

\( B \in \pi: \ \ a(x+1)+ b(y-0) + c(z-3) +d = 0 \ \ (1) \)

Punkt \( C \) należy do płaszczyzny.

\( C \in \pi: \ \ a(x -3)+b(y-2) + c(z+1) +d = 0 \ \ (2) \)

Wektor normalny płaszczyzny \( [a, b, c] \) musi być prostopadły do wektora kierunkowego prostej \( [ -1, 1, 2] \)

\( a\cdot (-1) + b\cdot 1 + c\cdot 2 = 0 \ \ (3) \)

Proszę rozwiązać jednorodny układ równań liniowych \( (1), (2), (3). \)

Wskazówka:

Traktujemy jedną ze zmiennych na przykład \( b \) jako parametr i podstawiamy do jednego z równań. Sprawdzamy podstawiając dorównania drugiego.

[Pawm32]

Równanie szukanej płaszczyzny

\( \pi: \ \ ax +by + cz + d = 0.\)

Punkt \( B \) należy do płaszczyzny.

\( B \in \pi: \ \ a(x+1)+ b(y-0) + c(z-3) +d = 0 \ \ (1) \)

Punkt \( C \) należy do płaszczyzny.

\( C \in \pi: \ \ a(x -3)+b(y-2) + c(z+1) +d = 0 \ \ (2) \)

Wektor normalny płaszczyzny \( [a, b, c] \) musi być prostopadły do wektora kierunkowego prostej \( [ -1, 1, 2] \)

\( a\cdot (-1) + b\cdot 1 + c\cdot 2 = 0 \ \ (3) \)

Proszę rozwiązać jednorodny układ równań liniowych \( (1), (2), (3). \)

Wskazówka:

Traktujemy jedną ze zmiennych na przykład \( b \) jako parametr i podstawiamy do jednego z równań. Sprawdzamy podstawiając dorównania drugiego.

Nie rozumiem, nie umiem rozwiązać układu 3 równań z 4 niewiadomymi, a jeżeli B potraktuje jako parametr, to mam każdą zmienną wyrażoną w postaci jakiegoś ułamka B, ale to chyba nie o to chodziło, także chyba podpowiedzi też nie rozumiem.

[Jerry]

Wersja dla ogarniających rachunek wektorów:

1. \(\vec{BC}=[4,2,-4]=2\cdot[2,1,-2]\)
2. daną prostą \(k\) rozpina \(\vec{v_k}=[-1,1,2]\)
3. poszukiwaną płaszczyną \(\pi\) rozpinają kombinacje liniowe \({1\over2}\cdot\vec{BC}\) i \(\vec{v_k}\), zatem wektorem normalnym do niej jest \([2,1,-2]\times[-1,1,2]=[4,-2,3]\)
4. skoro \(B\in\pi\), to \(\pi: 4(x+1)-2y+3(z-3)=0\)

Pozdrawiam
PS. Rachunki do sprawdzenia - liczyłem bez kartki...

[janusz55]

Metoda algebraiczna

Równanie ogólne płaszczyzny

\( \pi: \ \ ax +by +cz + d = 0 \)

\( B\in \pi: \ \ a\cdot (-1) +b\cdot 0 +c\cdot 3 + d = 0 \)

\( C\in \pi: \ \ a\cdot 3 +b\cdot 2 + c\cdot (-1) + d = 0 \)

\( [a,b,c] \perp [-1, 1, 2] : a\cdot (-1)+ b\cdot 1 + c\cdot 2 = 0 \)

Otrzymujemy układ równań

\( \begin{cases} -a + 3c + d = 0 \\ 3a +2b - c +d = 0 \\ -a + b +2c = 0 \end{cases} \)

Macierz układu

\( \begin{bmatrix} -1 & 0 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} \)

Sprowadzamy macierz operacjami elementarnymi na wierszach do postaci schodkowej

\( \begin{bmatrix} -1 & 0 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} \overset{ w_{1}\cdot (-1)}\longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 & -1 \\ 3 & 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}\overset{w_{2}-3w_{1} \\ w_{3}+w_{1}}\longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & 2 & 8 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & -1\end{bmatrix} \)
\(\overset{w_{2} \cdot \frac{1}{2}}\longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}\overset{w_{3}-w_{1}}\longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & -5 & -3 \end{bmatrix} \)

Z ostatniego wiersza macierz schodkowej
\( -5c -3d = 0, \ \ c = -\frac{3}{5}d,\)

Z przedostatniego wiersza
\( b+ 4c +2d = 0, \ \ b -\frac{12}{5}d +2d = 0, \ \ b -\frac{2}{5}d = 0, \ \ b= \frac{2}{5}d.\)

Z pierwszego wiersza
\( a -3c -d = 0, \ \ a +\frac{9}{5}d - d = 0, \ \ a + \frac{4}{5}d = 0, \ \ a = -\frac{4}{5}d.\)

Rozwiązaniem ogólnym układu równań jest

\( \begin{cases} a = -\frac{4}{5}d \\ b= \frac{2}{5}d \\ c = -\frac{3}{5}d \end{cases}. \)

Podstawiamy rozwiązanie do równania ogólnego płaszczyzny

\( -\frac{4}{5}d\cdot x + \frac{2}{5}d \cdot y - \frac{3}{5}d\cdot z +d = 0 \)

Stąd

\( d \left( -\frac{4}{5}x + \frac{2}{5}y -\frac{3}{5}z +1 \right) = 0.\)

\( -\frac{4}{5}x + \frac{2}{5}y -\frac{3}{5}z +1 = 0 \mid \cdot 5 \)

\( \pi: -4x + 2y -3z +5 = 0.\)

[janusz55]

Metoda geometryczna

Skorzystamy ze stwierdzenia

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty \( P_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1}), \ \ P_{2}(x_{2},y_{2}, z_{2}) \) i równoległej do wektora \( \vec{v} =[ v_{x}, v_{y}, v_{z}] \neq \vec{0} \) można napisać w postaci

\( \vec{P_{1} Q} \bullet (\vec{P_{1} P_{2}} \times \vec{v}) = 0 \leftrightarrow \left|\begin{matrix} x -x_{1} & y - y_{1} & z -z_{1} \\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ v_{x} & v_{y} & v_{z} \end{matrix} \right|, \)

które wynika z własności iloczynu mieszanego wektorów.

Mamy

\( \left|\begin{matrix} x +1 & y - 0 & z - 3 \\ 4 & 2 & -4 \\ -1 & 1 & 2 \end{matrix} \right|, \)

\( \left|\begin{matrix} x +1 & y - 0 & z - 3 \\ 4 & 2 & -4 \\ -1 & 1 & 2 \end{matrix} \right|\overset{w_{2}+4w_{3}} \longrightarrow \left|\begin{matrix} x +1 & y - 0 & z - 3 \\ 0 & 6 & 4 \\ -1 & 1 & 2 \end{matrix} \right|= (x+1)\cdot\left| \begin{matrix} 6 & 4\\ 1 & 2\end{matrix} \right| - y \cdot \left|
\begin{matrix} 0 & 4\\ -1 & 2\end{matrix} \right|+ (z-3) \left| \begin{matrix} 0 & 6\\ -1 & 1\end{matrix} \right|= \)

\( = (x+1)\cdot 8 -4y +(z-3)\cdot 6 = 8x +8 -4y +6z -18 = 8x -4y +6z -10 = 2\cdot (4x -2y +3z -5) = 0.\)

\( \pi: 4x -2y +3z -5 = 0.\)