Całka niewłaściwa

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Hermi
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 33
Rejestracja: 22 lis 2023, 20:05
Podziękowania: 23 razy
Płeć:

Całka niewłaściwa

Post autor: Hermi »

Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całki niewłaściwej pierwszego rodzaju

\(\int\limits_{\scriptsize 1}^{\scriptsize \infty}{\frac{\sqrt{x}+1}{x\,\left(x+1\right)}}{\;\mathrm{d}x}\)
Ostatnio zmieniony 29 sty 2024, 19:03 przez Hermi, łącznie zmieniany 1 raz.
korki_fizyka
Expert
Expert
Posty: 6274
Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
Podziękowania: 83 razy
Otrzymane podziękowania: 1523 razy
Płeć:

Re: Całka niewłaściwa

Post autor: korki_fizyka »

Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
Hermi
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 33
Rejestracja: 22 lis 2023, 20:05
Podziękowania: 23 razy
Płeć:

Re: Całka niewłaściwa

Post autor: Hermi »

Naprawione
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1685
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 440 razy

Re: Całka niewłaściwa

Post autor: janusz55 »

Kryterium ilorazowe (asymptotyczne) zbieżności (rozbieżności) całek niewłaściwych.

Jeśli funkcje \( f \) i \( g \) są nieograniczone w prawostronnym sąsiedztwie punktu punktu \( a \) i istnieje granica

\( \Lim_{x\to a^{+}} \frac{f(x)}{g(x)} = g, \ \ 0 < g < \infty, \)

to całki \( \int_{a}^{b} f(x)dx, \ \ \int_{a}^{b}g(x)dx \) są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne do \( +\infty, \ \ (-\infty).\)

\( \int_{1}^{\infty} \frac{\sqrt{x} +1}{x(x+1)} dx :\)

\( f(x) = \frac{1}{x(x+1)}, \ \ g(x) = \frac{\sqrt{x}+1}{x(x+1)}.\)

Ponieważ

\( \Lim_{x\to 1^{+}} \frac{f(x)}{g(x)} = \Lim_{x\to 1^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}+1}= \frac{1}{2} < \infty \)

i całka

\( \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x(x+1)}dx = \ln(2) \) jest zbieżna, więc na mocy kryterium ilorazowego badana całka jest zbieżna.

P.S.

Wartość całki \( \int_{1}^{\infty} \frac{\sqrt{x}+1}{x(x+1)}dx \) stosunkowo łatwo można obliczyć podstawieniem \( t = \sqrt{x} +1, \) lub \( t = \sqrt{x}.\)