Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całki niewłaściwej pierwszego rodzaju
\(\int\limits_{\scriptsize 1}^{\scriptsize \infty}{\frac{\sqrt{x}+1}{x\,\left(x+1\right)}}{\;\mathrm{d}x}\)
Całka niewłaściwa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Hermi
- Rozkręcam się
- Posty: 38
- Rejestracja: 22 lis 2023, 20:05
- Podziękowania: 23 razy
- Płeć:
-
korki_fizyka
- Expert
- Posty: 6285
- Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
- Podziękowania: 83 razy
- Otrzymane podziękowania: 1566 razy
- Płeć:
Re: Całka niewłaściwa
zapisz to porządnie https://forum.zadania.info/viewtopic.php?t=568
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
-
Hermi
- Rozkręcam się
- Posty: 38
- Rejestracja: 22 lis 2023, 20:05
- Podziękowania: 23 razy
- Płeć:
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 2127
- Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 503 razy
Re: Całka niewłaściwa
Kryterium ilorazowe (asymptotyczne) zbieżności (rozbieżności) całek niewłaściwych.
Jeśli funkcje \( f \) i \( g \) są nieograniczone w prawostronnym sąsiedztwie punktu punktu \( a \) i istnieje granica
\( \Lim_{x\to a^{+}} \frac{f(x)}{g(x)} = g, \ \ 0 < g < \infty, \)
to całki \( \int_{a}^{b} f(x)dx, \ \ \int_{a}^{b}g(x)dx \) są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne do \( +\infty, \ \ (-\infty).\)
\( \int_{1}^{\infty} \frac{\sqrt{x} +1}{x(x+1)} dx :\)
\( f(x) = \frac{1}{x(x+1)}, \ \ g(x) = \frac{\sqrt{x}+1}{x(x+1)}.\)
Ponieważ
\( \Lim_{x\to 1^{+}} \frac{f(x)}{g(x)} = \Lim_{x\to 1^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}+1}= \frac{1}{2} < \infty \)
i całka
\( \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x(x+1)}dx = \ln(2) \) jest zbieżna, więc na mocy kryterium ilorazowego badana całka jest zbieżna.
P.S.
Wartość całki \( \int_{1}^{\infty} \frac{\sqrt{x}+1}{x(x+1)}dx \) stosunkowo łatwo można obliczyć podstawieniem \( t = \sqrt{x} +1, \) lub \( t = \sqrt{x}.\)
Jeśli funkcje \( f \) i \( g \) są nieograniczone w prawostronnym sąsiedztwie punktu punktu \( a \) i istnieje granica
\( \Lim_{x\to a^{+}} \frac{f(x)}{g(x)} = g, \ \ 0 < g < \infty, \)
to całki \( \int_{a}^{b} f(x)dx, \ \ \int_{a}^{b}g(x)dx \) są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne do \( +\infty, \ \ (-\infty).\)
\( \int_{1}^{\infty} \frac{\sqrt{x} +1}{x(x+1)} dx :\)
\( f(x) = \frac{1}{x(x+1)}, \ \ g(x) = \frac{\sqrt{x}+1}{x(x+1)}.\)
Ponieważ
\( \Lim_{x\to 1^{+}} \frac{f(x)}{g(x)} = \Lim_{x\to 1^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}+1}= \frac{1}{2} < \infty \)
i całka
\( \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x(x+1)}dx = \ln(2) \) jest zbieżna, więc na mocy kryterium ilorazowego badana całka jest zbieżna.
P.S.
Wartość całki \( \int_{1}^{\infty} \frac{\sqrt{x}+1}{x(x+1)}dx \) stosunkowo łatwo można obliczyć podstawieniem \( t = \sqrt{x} +1, \) lub \( t = \sqrt{x}.\)