forum.zadania.info

\(\Lim\limits_{\color{red}{x}\to+ \infty } ( \sum_{k=0}^{ \infty } \frac{n}{n+ \sqrt{k} }) =\sum\limits_{k=0}^{ \infty } \frac{n}{n+ \sqrt{k} }\)

Pozdrawiam

Jerry pisze: ↑23 sty 2024, 22:15 \(\Lim\limits_{\color{red}{x}\to+ \infty } ( \sum_{k=0}^{ \infty } \frac{n}{n+ \sqrt{k} }) =\sum\limits_{k=0}^{ \infty } \frac{n}{n+ \sqrt{k} }\)

Pozdrawiam

a dlaczego tak?

Bo wyrażenie pod granicą nie jest zależne od \(x\) !

Pozdrawiam
PS. Penie Ci chodziło o granicę po \(n\), jak w jednym z poprzednich wątków, ale dla mnie i tak byłoby coś nie tak z górnym kresem sumowania...

Jerry pisze: ↑23 sty 2024, 22:23 Bo wyrażenie pod granicą nie jest zależne od \(x\) !

Pozdrawiam
PS. Penie Ci chodziło o granicę po \(n\), jak w jednym z poprzednich wątków, ale dla mnie i tak byłoby coś nie tak z górnym kresem sumowania...

tak, teraz widzę, miało być po n. A dla jakiech górnych kresów było by dobrze? i szczególnie jak wtedy coś takiego by się liczyło

Naturalniejszą dla mnie byłaby postać:
\[\Limn\sum\limits_{k=0}^{\color{red}{n}} \frac{n}{n+ \sqrt{k} }\]
i wtedy
\[\sum\limits_{k=0}^{n} \frac{n}{n+ \sqrt{k} }\ge(n+1)\cdot\frac{n}{n+ \sqrt{n} }\nad{n\to+\infty}{\longrightarrow}+\infty\]
ale... szeregi to nie jest moje hobby

Pozdrawiam

\( \Lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{n}{n+\sqrt{k}}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+\sqrt{n}} \)

Dla szeregu

\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+\sqrt{n}} \) nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregów, bo

\( \Lim_{n\to \infty}\frac{n}{n+ \sqrt{n}} = 1 \neq 0.\) - szereg jest rozbieżny.

Badaną granicą jest \( +\infty. \)