Całka

[Hermi]

Obliczyć całkę \(\int{\frac{1}{1-\operatorname{tg}\left(x\right)}}{\;\mathrm{d}x} \)
a następnie obliczyć wartość główną całek w punktach nieciągłości \(x_0∈(a,b)\),

[Jerry]

Kalkulator

Pozdrawiam

[Hermi]

Sama całka nie jest problem. Bardziej nie rozumiem co mam dać w miejscach nieciągłych. Gdy mam tylko jeden taki punkt a chyba potrzebuje takich dwa

[janusz55]

Proszę przepisać czytelnie całkę.

[Hermi]

Mam punkt nieciągłości \frac{pi}{}4 i całkę \int{\dfrac{1}{1-\tan\left(x\right)}}{\;\mathrm{d}x}=\dfrac{x}{2}-\dfrac{\ln\left(\sin\left(x\right)-\cos\left(x\right)\right)}{2}+C co dalej mam z tym zrobić bo nie rozumiem

[janusz55]

Mam punkt nieciągłości \( \frac{\pi}{4} \) i całkę \( \int{\dfrac{1}{1-\tan\left(x\right)}}{\;\mathrm{d}x}=\dfrac{x}{2}-\dfrac{\ln\left(\sin\left(x\right)-\cos\left(x\right)\right)}{2}+C, \) co dalej mam z tym zrobić, bo nie rozumiem.

[janusz55]

Mamy obliczyć wartość główną całki w punkcie nieciągłości \( x_{0} = \frac{\pi}{4}.\)

Jeżeli funkcja \( f(x) \) jest całkowalna w przedziale \( [-T, \ \ T] \) dla kazdego \( T>0,\) to wartość główną całki na przedziale \( (-\infty, \ \ \infty) \) w sensie A. Cauchy'ego określamy

\( \int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = \Lim_{T \to \infty} \int_{-T}^{T} f(x)dx.\)

Mamy zadanie ułatwione, bo znamy postać funkcji pierwotnej, więc wystarczy obliczyć jej granicę w przedziale \( (-\infty, \ \ \infty), \) dzieląc go na sumę dwóch przedziałów: \( (-\infty, \ \ 0) \cup (0, \ \ \infty).\)