forum.zadania.info

\( \Lim a_{n} = \Lim a_{n+1} = g.\)

\( g = \frac{1-g}{2} \)

\( 3g = 1, \ \ g = \frac{1}{3}.\)

janusz55 pisze: ↑23 sty 2024, 15:03 \( g = \frac{1}{3}.\)

Oczywiście, o ile istnieje!

Pozdrawiam

Oczywiście,. Założyliśmy, że istnieje.
Należałoby dla pełności rozwiązania sprawdzić monotoniczność i ograniczoność tego ciągu.

janusz55 pisze: ↑23 sty 2024, 16:41 Oczywiście,. Założyliśmy, że istnieje.
Należałoby dla pełności rozwiązania sprawdzić monotoniczność i ograniczoność tego ciągu.

A w jaki sposób, wydaje mi się, że monotoniczność umiałbym sprawdzić, a przynajmniej wiem czego to dotyczy, natomiast z ograniczonością albo się nie spotkałem, ale nie wiem, że to jest to.

Jerry pisze: ↑23 sty 2024, 15:26

janusz55 pisze: ↑23 sty 2024, 15:03 \( g = \frac{1}{3}.\)

Oczywiście, o ile istnieje!

Pozdrawiam

A jak sprawdzić czy istnieje?

Z monotonicznością jest problem - wg mnie dany ciąg nie jest monotoniczny (sprawdziłem po początkowych wyrazach). Podciąg wyrazów o numerach nieparzystych jest rosnący, podciąg wyrazów o indeksach parzystych - malejący...

Ograniczoność (globalnie): postawmy hipotezę \(0\le a_n\le{1\over2}\) dla każdego \(n\in\zz_+\).
\(1^\circ\quad\ a_1=0,\ a_2={1\over2}\) spełniają hipotetyczny porządek,
\(2^\circ\quad\) Załóżmy, że dla pewnego \(k\ge2\) zachodzi \(0\le a_k\le{1\over2}\). Wynika z tego, że
\[0\ge- a_k\ge-{1\over2}\\1\ge1- a_k\ge{1\over2}\\{1\over2}\ge {1-a_k\over2}\ge{1\over4}\\
{1\over2}\ge a_{k+1}\ge{1\over4}\ge0\]
Zatem, z zasady indukcji matematycznej zupełnej, hipotetyczny porządek jest prawdziwy dla wszystkich \(n\in\zz_+\) i ciąg \((a_n)\) jest ograniczony!

Pełnym, wg mnie, rozstrzygnięciem problemu, jest wykazanie:

1. rośnięcia ciągu \(b_n=a_{2n-1}\) i jego ograniczenie przez \({1\over3}\)
2. malenia ciągu \(c_n=a_{2n}\) i jego ograniczenie przez \({1\over3}\)
3. zacytowanie postu janusz55 z 15:03

Pozdrawiam
PS. Do wskazania rekurencji ciągów \(b,\ c\) przyda się:
\(a_{n+2}=\dfrac{1-a_{n+1}}{2}=\dfrac{1-\frac{1-a_{n}}{2}}{2}=\ldots\)

\( a_{n+1} = \frac{ 1- a_{n}}{2}, \ \ a_{1} = 0.\)

Obliczając kolejne wartości wyrazów ciągu na przykład w programie OCTAVE:
Otrzymujemy ciąg przyblżeń dolnych i ciąg przybliżeń górnych granicy ciągu \( 0,3333...= 0,(3) = \frac{1}{3}.\)