Statystyka, interpretacja przedziału ufności

[Johnyppp]

W badaniu na próbie 120 kierowców ustalano, czy istnieje zależność między liczbą przejechanych kilometrów od momentu ostatniego postoju a kwotą wydaną na stacji paliw na produkty nie paliwowe podczas najbliższej przerwy w trasie uzyskano wartość współczynnika korelacji 0,56 oraz przedział ufności dla współczynnika korelacji na poziomie ufności 0,95: (0.44;0.68).

Podać interpretację przedziału ufności.

[janusz55]

\( X \) - zmienna losowa liczby przejechanych kilometrów od momentu ostatniego postoju.

\( Y \) - zmienna losowa kwoty wydatków na stacji paliwowej na produkt nie paliwowy podczas najbliższej przerwy w trasie.

Wartość współczynnika korelacji r-Pearsona obliczamy ze wzoru \( r_{xy} = \frac{cov(x,y)}{S(x)\cdot S(y)} = 0,56.\)

Zanim podamy definicję, i interpretację przedziału ufności, musimy obliczyć dla dwustronnego przedziału ufności wartość kwantyla \( u_{\alpha}\) rzędu \( \alpha = 0,05.\)

Na podstawie poziomu istotności testu: \( 1-\frac{\alpha}{2} = 1 - \frac{0,05}{2} = 1 - 0,025 = 0,975.\)

Z tablicy dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego lub programu komputerowego odczytujemy \( u_{0,05} = 1,96.\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

> u = qnorm(0.975)
> u
[1] 1.959964

Z definicji przedziału ufności dla współczynnika korelacji r-Pearsona:

\( P\left(r_{XY} - u_{\alpha} \frac{1 -r^2_{XY}}{\sqrt{n}} \leq r_{P} \leq r_{XY} + u_{\alpha} \frac{1 -r^2_{XY}}{\sqrt{n}} \right) = 1-\alpha.\)

\( P \left (0,56 - 1,96\frac{1-0,56^2}{\sqrt{120}} \leq r_{P} \leq 0,56 + 1,96\frac{1-0,56^2}{\sqrt{120}}\right) = 1- 0,05 = 0,95.\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

> L = 0.56- 1.96*((1 -0.56^2)/sqrt(120))
> L
[1] 0.4371875
> P = 0.56+ 1.96*((1 -0.56^2)/sqrt(120))
> P
[1] 0.6828125

\( P(0,44 \leq r_{P}\leq 0,68) = 0,95.\)

Interpretacja
Z prawdopodobieństwem \( 0,95 \) należy oczekiwać, że przedział ufności o końcach \( 0,44, \ \ 0,68 \) należy do podzbioru tych przedziałów ufności, które pokryją wartość współczynnika korelacji r-Pearsona pomiędzy liczbą przejechanych kilometrów i kwotą wydatków na produkt nie paliwowy, a nie tylko \(120 \) - elementowej próby kierowców.

Uwaga
W treści zadania podano przedział ufności dla \( r_{XY} \) - wystarczyło więc podać jego interpretację.
Poznaliśmy definicję i sprawdziliśmy poprawność tego przedziału.