Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie danym w tabeli:
xi: |-4 | 0 | 2 | 4 |
pi: |1/5| 2/5 |1/5| 1/5|
a)Wyznaczyć funkcję charakterystyczną zmiennej losowej X
b) Za pomocą funkcji charakterystycznej wyznaczyć zmienną wartość oczekiwaną zmiennej losowej X
Funkcja charakterystyczna
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1584
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 416 razy
Re: Funkcja charakterystyczna
\( X: \)
\( \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
x_{i} & -4 & 0 & 2 & 4 \\ \hline
p_{i} & \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\ \hline
\end{array} \)
a)
\( \phi(t) = \sum_{i=1}^{4} p_{i}\cdot e^{itx_{i}} = \frac{1}{5}e^{-4it} +\frac{2}{5}e^{i0} + \frac{1}{5} e^{2it} +\frac{1}{5}e^{4it} = \)
\( = \frac{1}{5}\left(e^{-4it} + e^{4it}\right) +\frac{1}{5}e^{2it} + \frac{2}{5} = \frac{2}{5}\cos(4t) +\frac{1}{5}e^{2it} + \frac{2}{5}.\)
b)
\( E(X) = \frac{1}{i}\cdot \phi'(0).\)
\( \phi'(t) = -\frac{8}{5}\sin(4t) + \frac{2}{5}i\cdot e^{2it}. \)
\( E(X) =\frac{1}{i} \left(-\frac{8}{5}\sin(0) + \frac{2}{5}ie^{2i0} \right) = \frac{1}{i} \left( 0 + \frac{2}{5}i\right)= \frac{2}{5}\frac{i}{i} =\frac{2}{5}.\)
\( E(X) = \sum_{i=1}^{4} x_{i} p_{i} = -4\cdot \frac{1}{5} + 0\cdot \frac{2}{5} + 2\cdot \frac{2}{5} + 4\cdot \frac{1}{5} = -\frac{4}{5}+0 +\frac{2}{5} + \frac{4}{5} = \frac{2}{5}.\)
\( \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
x_{i} & -4 & 0 & 2 & 4 \\ \hline
p_{i} & \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\ \hline
\end{array} \)
a)
\( \phi(t) = \sum_{i=1}^{4} p_{i}\cdot e^{itx_{i}} = \frac{1}{5}e^{-4it} +\frac{2}{5}e^{i0} + \frac{1}{5} e^{2it} +\frac{1}{5}e^{4it} = \)
\( = \frac{1}{5}\left(e^{-4it} + e^{4it}\right) +\frac{1}{5}e^{2it} + \frac{2}{5} = \frac{2}{5}\cos(4t) +\frac{1}{5}e^{2it} + \frac{2}{5}.\)
b)
\( E(X) = \frac{1}{i}\cdot \phi'(0).\)
\( \phi'(t) = -\frac{8}{5}\sin(4t) + \frac{2}{5}i\cdot e^{2it}. \)
\( E(X) =\frac{1}{i} \left(-\frac{8}{5}\sin(0) + \frac{2}{5}ie^{2i0} \right) = \frac{1}{i} \left( 0 + \frac{2}{5}i\right)= \frac{2}{5}\frac{i}{i} =\frac{2}{5}.\)
\( E(X) = \sum_{i=1}^{4} x_{i} p_{i} = -4\cdot \frac{1}{5} + 0\cdot \frac{2}{5} + 2\cdot \frac{2}{5} + 4\cdot \frac{1}{5} = -\frac{4}{5}+0 +\frac{2}{5} + \frac{4}{5} = \frac{2}{5}.\)