Niezależnośc liniowa wektorów

[Karolinka1231231]

Sprawdzić czy wektory u,v są liniowo niezależne, jeżeli:

u=2a−b, v=a+3b, ||a||=1, ||b||=2, a∘b=−2.

u, v są liniowo zależne ⇔ (u*v)^2 = u^2 v^2

u^2 = 4a^2 −4a*b + b^2 = 4 - 4*(-2) + 4 = 4+8+4=16
v^2 = a^2 + 6a*b + 9b^2 = 1 − 12 + 36 = 25
u*v = 2a^2 +5ab -3b^2 = 2 + (-10) -3*4= 2 - 10 - 12 = -20
Wektory są liniowo niezależne
Czy to jest dobrze?

[janusz55]

A z czego wynika ta ich liniowa niezależność ?

[Karolinka1231231]

A przepraszam są liniowo zależne ponieważ

u^2*u^2= (u*v)^2

u^2*u^2= 16*25=400
(u*v)^2= (-20)^2=400

Teraz dobrze?

[janusz55]

Pierwszy sposób - geometryczny

Z własności iloczynu skalarnego i normy wektora:

\( \vec{u}\circ \vec{v} = (2a -b) \circ (a+3b) = 2a^2 + 6 a\circ b -ab -3b^2 = +2a^2 +5a\circ b -3b^2 = 2\cdot 1^2 +5\cdot (-2)+ 3\cdot 2^2 = 2-10 +12 =4.\)

\( ||\vec{u}||^2 = u^2 = (2a-b)\circ (2a-b) = 4a^2 -4ab +b^2 = 4\cdot 1^2 -4(-2) +2^2 = 4 +8 +4 = 16,\)

\( ||\vec{u}||= \sqrt{16} = 4.\)

\( ||\vec{v}||^2 = (a +3b)^2 = a^2 + 6a\circ b + 9b^2 = 1^2 +6\cdot (-2) + 9\cdot (2)^2 = 1 -12 +36 = 25.\)

\( ||\vec{v}|| = \sqrt{25} = 5.\)


\( \cos(\angle \vec{u},\vec{v}) = \cos(\phi) = \frac{\vec{u}\circ \vec{v}}{||\vec{u}||\cdot ||\vec{v}||} = \frac{4}{4\cdot 5} = \frac{4}{20} =
\frac{1}{5}.\)

\( \phi = \arccos \left(\frac{1}{5}\right) \approx 78,5^{o}. \)

Kąt między wektorami \( \vec{u}, \vec{v} \) jest różny od \( 0^{o} \) i \( 180^{o} \) - wektory są liniowo - niezależne.

Drugi sposób - algebraiczny

Z definicji liniowej niezależności wektorów:

\(\alpha \cdot \vec{u} + \beta\cdot \vec{v} = \alpha\cdot (2a -b) + \beta\cdot (a + 3b) = 2\alpha \cdot a -\alpha\cdot b + \beta a +3\beta\cdot b = 0,\)

\( (2\alpha+\beta ) a + (-\alpha + 3\beta)b = 0,\)

\( \begin{cases} 2\alpha+\beta =0 \\ -\alpha + 3\beta =0. \end{cases}\)

Z rozwiązania tego układu równań \( \alpha = 0 , \ \ \beta = 0.\)

Wektory \( \vec{u}, \vec{v} \) są liniowo - niezależne.

[kerajs]

@ janusz55

Czyż z tego

||a||=1, ||b||=2, a∘b=−2.

nie wynika, że wektory a i b mają przeciwne zwroty ?

A skoro tak, to jakim cudem ich kombinacje liniowe są liniowo niezależne?
I to dubeltowo!


W dodatku sugerowano inną odpowiedź tu:

są liniowo zależne ponieważ

u^2*u^2= (u*v)^2

u^2*u^2= 16*25=400
(u*v)^2= (-20)^2=400

PS
Sposób pierwszy zawiera błędy rachunkowe, a drugi merytoryczne.

[janusz55]

Z ujemności iloczynu skalarnego nie wynika, że wektory mają przeciwne zwroty, bo mogą tworzyć kąt \( \phi \in ( 90^{0}, 180^{o}).\)

Ponadto nie badamy liniowej niezależności wektorów \( \vec{a}, \vec{b} \) tylko liniową niezależność wektorów \( \vec{u} \) i \( \vec{v}, \) które są ich kombinacjami liniowymi.
.

[kerajs]

Owszem, z samej ujemności iloczynu skalarnego nie wynika, że wektory mają przeciwne zwroty, lecz dla tych danych

||a||=1, ||b||=2, a∘b=−2.

widać, iż tak właśnie jest.

[janusz55]

Zamiast \( -2 \) powinno być \(2\) i wtedy norma \( ||\vec{u}||= 0.\)

Mamy jeden wektor zerowy i przyjmuje się, że ich kombinacja liniowa jest liniowo -zależna.

Dzięki kerajs.

[janusz55]

Nie badamy wektorów \( \vec{a}, \vec{b} \) tylko \( \vec{u},\ \ \vec{v}.\)

[kerajs]

Zamiast \( 2 \) powinno być \(-2\) i wtedy norma \( ||\vec{u}||= 0.\)

Hm, moim zdaniem |u|=4 . (pisanie ||u|| to lekkie nadużycie)

Nie badamy wektorów \( \vec{a}, \vec{b} \) tylko \( \vec{u},\ \ \vec{v}.\)

więc ...... .
Jakie jest uzasadnienie tej uwagi?

[janusz55]

Poprawiłem.
Czy użycie normy zamiast wartości bezwzględnej to nadużycie? Nie sądzę.

Uzasadnieniem jest treść zadania.

[Karolinka1231231]

\( \vec{u}\circ \vec{v} = (2a -b) \circ (a+3b) = 2a^2 + 6 a\circ b -ab -3b^2 = +2a^2 +5a\circ b -3b^2 = 2\cdot 1^2 +5\cdot (-2)+ 3\cdot 2^2 = 2-10 +12 =4.\)

Tu nie powinno wyjść -20?
-3b^2 nagle zmienia się w +12 a powinno być moim zdaniem -12

[Karolinka1231231]

I wtedy wychodzi -20/20 czyli 1 a cos(1) =0 i wektory sa liniowo zależne. Tak?

[janusz55]

Pani Karolinko odwrotnie:

\( \cos(0) = 1. \) Wtedy \( \vec{u} \circ \vec{v} = ||\vec{u}||\cdot ||\vec{v}|| \) - wektory są liniowo zależne.

[Karolinka1231231]

Aha no tak

Ale moja uwaga co do tego -20 i ostatecznie tego ze wektory są liniowo zależne jest poprawna?