forum.zadania.info

Wartość najmniejsza i największa.
\(y=3x + 4\sqrt{1-x^2}\)
Bez pochodnych i granic poproszę.

Zbiór wartości, z rozwiązania równania
\(3x + 4\sqrt{1-x^2}=t\)
wychodzi mi \([-5;5]\), co nie jest prawdą.

Dla \(-1 \le x<0\) oba składniki rosną więc najmniejszą wartością w tym przedziale będzie y(-1)=-3 (dla \(0 \le x \le 1\) oba składniki są nieujemne więc -3 jest wartością najmniejszą funkcji). Dla x=0 zachodzi y=4
\(0 < x \le 1\) oba składniki są dodatnie.
Niech x=sin t to \(\sqrt{1-x^2}=\cos t\) , a wtedy

\(y=3x + 4\sqrt{1-x^2}=5( \frac{3}{5} \sin t+ \frac{4}{5} \cos t )=5 \sin (t+\arccos \frac{3}{5}) \le 5 \cdot 1 \)
Zbiorem wartości jest przedział [-3,5]

Dostałam podpowiedź od "Jerry".
Zapomniałam o założeniu.
\(t-3x\ge0\), a to już rozwiązuje mój problem.
\(x\in[-1;1]\\3x\in[-3;3]\\t\in[-3;+\infty]\)
Ostatecznie \(t\in[-3;5]\)

Jeżeli chodzi o rozwiązanie podane wyżej, to nie jestem pewna, czy to jest rozwiązanie na poziomie szkoły średniej.
Jest może jakiś inny sposób?

Można użyć pochodnej lub podnieść równanie stronami do kwadratu i wtedy znaleźć zbiór wartości.
Osobiście jednak jestem przy rozwiązaniu użytkownika kerajs z 6 stycznia.
Moim zdaniem nie ma w nim niczego co by wybiegało poza poziom szkoły średniej (chyba, że funkcje trygonometryczne już wyrzucili)

anka pisze: ↑06 sty 2024, 02:18 Bez pochodnych i granic poproszę.

kerajs pisze: ↑06 sty 2024, 07:57 \(5( \frac{3}{5} \sin t+ \frac{4}{5} \cos t )=5 \sin (t+\arccos \frac{3}{5}) \)

To przejście jest w programie?

Podaję moje (z podpowiedzią @Jerry- dziękuję), może komuś się przyda.

Liczba \(t\) należy do zbioru wartości funkcji \(f\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba \( x\), że\( f(x) = t\).
Musimy więc znaleźć te wartości \(t\), dla których równanie \(3x + 4\sqrt{1-x^2}=t\) ma co najmniej jedno rozwiązanie.

\(y=3x + 4\sqrt{1-x^2}\)
Dziedzina:
\(x\in[-1;1]\)

\(3x + 4\sqrt{1-x^2}=t\)
\( 4\sqrt{1-x^2}=t-3x\)
Założenie:
(lewa strona jet nieujemna, więc prawa też musi być nieujemna)
\(t-3x\ge0\)
\(t\ge3x\)
\(x\in[-1;1]\\3x\in[-3;3]\\t\in[-3;+\infty]\)

\( 4\sqrt{1-x^2}=t-3x\ \ \ |()^2\)
\(16(1-x^2)=t^2-6tx+9x^2\)
\(16-16x^2-t^2+6tx-9x^2=0\)
\(-25x^2+6tx+16-t^2=0\)
\(\Delta=(6t)^2-4\cdot(-25)(16-t^2)=36t^2+1600-100t^2=-64t^2+1600\)
(równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie, jeżeli \(\Delta\ge0\)).

\(-64t^2+1600\ge0\ \ \ |:(-64)\\
t^2-5\ge0\\
(t+5)(t-5)\ge0\\
t\in[-5;5]\)

Z założenia
\(t\in[-3;+\infty]\)
więc \(t\in[-3;5]\)