oblicz \(\dfrac{1}{e^{1\over4}}\) z błędem bezwzględnym mniejszym od \(0.01\)
Bardzo proszę o pomoc
szereg taylora reszta lagrange'a
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 1625
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 424 razy
Re: szereg taylora reszta lagrange'a
Stosujemy szereg Taylora-Maclaurina dla funkcji \( f(x) = e^{x}.\)
Chcemy oszacować \( f \left(-\frac{1}{4} \right).\)
Dla dowolnego \( n\in \nn \) mamy \( f'(x) = f^{(n)}(x) = e^{x} \) oraz \( f(0) = f^{(n)}(0) = 1.\)
Zatem
\( e^{x} = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f"(0)}{2!}x^2 + \ \ ... + \ \ \frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1} + R_{n}, \)
gdzie
\( R_{n} = \frac{f^{(n)}(c)}{n!}x^{n} = \frac{e^{c}}{n!} x^{n} \) dla pewnego \( c\in (x; \ \ 0).\)
Dla \( x = -\frac{1}{4} \)
mamy
\( \frac{1}{\sqrt[4]{e}} = 1 -\frac{1}{4} + \frac{1}{2!}\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \ \ ... + \ \ + \frac{1}{(n-1)!}\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1} + R_{n},\)
gdzie
\( R_{n} = \frac{e^{c}}{n!}\left(-\frac{1}{4}\right)^{n} \) dla pewnego \( c\in \left[-\frac{1}{4}, 0\right].\)
Skorzystamy z tego przybliżonego wzoru z takim naturalnym \( n, \) dla którego \( |R_{n}|\leq 10^{-3}.\)
\( |R_{n}| = \frac{e^{c}} {n!}\left(\frac{1}{4}\right)^{n}, \ \ c\in\left(0, \frac{1}{4}\right), \)
\( e < 3 < 4.\)
\( |R_{n}| \leq \frac{4}{4^{n} n!} \leq \frac{1}{4^{n-1} n!}. \)
Dla \( n=2, \ \ |R_{2}| \leq \frac{1}{8}.\)
Dla \( n=3, \ \ |R_{3}|\leq \frac{1}{96}.\)
Dla \( n=4, \ \ |R_{4}|\leq \frac{1}{1536}\leq 10^{-3}.\)
Chcemy oszacować \( f \left(-\frac{1}{4} \right).\)
Dla dowolnego \( n\in \nn \) mamy \( f'(x) = f^{(n)}(x) = e^{x} \) oraz \( f(0) = f^{(n)}(0) = 1.\)
Zatem
\( e^{x} = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f"(0)}{2!}x^2 + \ \ ... + \ \ \frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1} + R_{n}, \)
gdzie
\( R_{n} = \frac{f^{(n)}(c)}{n!}x^{n} = \frac{e^{c}}{n!} x^{n} \) dla pewnego \( c\in (x; \ \ 0).\)
Dla \( x = -\frac{1}{4} \)
mamy
\( \frac{1}{\sqrt[4]{e}} = 1 -\frac{1}{4} + \frac{1}{2!}\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \ \ ... + \ \ + \frac{1}{(n-1)!}\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1} + R_{n},\)
gdzie
\( R_{n} = \frac{e^{c}}{n!}\left(-\frac{1}{4}\right)^{n} \) dla pewnego \( c\in \left[-\frac{1}{4}, 0\right].\)
Skorzystamy z tego przybliżonego wzoru z takim naturalnym \( n, \) dla którego \( |R_{n}|\leq 10^{-3}.\)
\( |R_{n}| = \frac{e^{c}} {n!}\left(\frac{1}{4}\right)^{n}, \ \ c\in\left(0, \frac{1}{4}\right), \)
\( e < 3 < 4.\)
\( |R_{n}| \leq \frac{4}{4^{n} n!} \leq \frac{1}{4^{n-1} n!}. \)
Dla \( n=2, \ \ |R_{2}| \leq \frac{1}{8}.\)
Dla \( n=3, \ \ |R_{3}|\leq \frac{1}{96}.\)
Dla \( n=4, \ \ |R_{4}|\leq \frac{1}{1536}\leq 10^{-3}.\)
Re: szereg taylora reszta lagrange'a
Dlaczego bierze Pan resztę <=0.001 skoro błąd bezwzględny? ma być mniejszy niż 0.01, czy możemy zaokrąglić e do 3?
-
- Fachowiec
- Posty: 1625
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 424 razy
Re: szereg taylora reszta lagrange'a
Przyjąłem \( 4 \), bo w reszcie według Lagrange'a szeregu Maclaurina występuje \( \left(\frac{1}{4}\right)^{n}. \)
Przyjęcie \( 3 \) raczej nie, bo nie występuje potęga \( \left(\frac{1}{3}\right)^{n}.\)
Dokładność mniejsza od \( \varepsilon = 0,01 \) nie zmienia rzędu reszty Lagrange'a \( n=4.\)
Przyjęcie \( 3 \) raczej nie, bo nie występuje potęga \( \left(\frac{1}{3}\right)^{n}.\)
Dokładność mniejsza od \( \varepsilon = 0,01 \) nie zmienia rzędu reszty Lagrange'a \( n=4.\)