Zadane jest przekształcenie liniowe \(ϕ : V → W\), gdzie V, W są skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Udowodnić,
że można dobrać tak bazę \(A\) w przestrzeni \(V\) oraz bazę \(B\) w przestrzeni \(W\),że macierz \(M(f)_{A}^{B}\) jest zerowa, lub też istnieje liczba naturalna r, że \(a_{ii}=1\) dla \(i\leq r\) oraz \(a_{ij}=0\) dla \(i\neq j\) lub \(i>r\), gdzie \(a_{ij}\) oznacza element macierzy \(M(f)_{A}^{B}\) w wierszu nr i i kolumnie nr j.
Macierze przekształcenia liniowego
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1561
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 412 razy
Re: Macierze przekształcenia liniowego
a)
W celu znalezienia zerowej macierzy przejścia \( M_{A}^{B}(f) \) z bazy \( A \) do bazy \( B, \) posłużymy się wygodnym w tym przypadku schematem:
\( A\overset{P_{1}}{\rightarrow} S \overset{P_{2}^{-1}}{\underset{P_{2}} \rightleftarrows} B, \)
gdzie:
\( S \) jest macierzą w bazie standardowej.
\( P_{1}, P_{2} \) są macierzami przejścia odpowiednio z baz \( A \) do \( S\) i z \( B \) do \( S.\)
Stąd
\( M_{A}^{B}(f) = P_{2}^{-1} P_{1} \) jest szukaną macierzą przejścia z bazy \( A \) do bazy \( B.\)
Wystarczy teraz pokazać, że macierz ta może być macierzą zerową, gdy macierze \( P_{1}, P_{2}^{-1} \) są macierzmi różnymi od macierzy zerowej.
Przykład (dla dwuwymiarowych przestrzeni liniowych \( V \) i \( W \))
\( P_{2}^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \ \ P_{1} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}. \)
\( M_{A}^{B}(f) = P_{2}^{-1} P_{1} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.\)
b)
W celu znalezienia zerowej macierzy przejścia \( M_{A}^{B}(f) \) z bazy \( A \) do bazy \( B, \) posłużymy się wygodnym w tym przypadku schematem:
\( A\overset{P_{1}}{\rightarrow} S \overset{P_{2}^{-1}}{\underset{P_{2}} \rightleftarrows} B, \)
gdzie:
\( S \) jest macierzą w bazie standardowej.
\( P_{1}, P_{2} \) są macierzami przejścia odpowiednio z baz \( A \) do \( S\) i z \( B \) do \( S.\)
Stąd
\( M_{A}^{B}(f) = P_{2}^{-1} P_{1} \) jest szukaną macierzą przejścia z bazy \( A \) do bazy \( B.\)
Wystarczy teraz pokazać, że macierz ta może być macierzą zerową, gdy macierze \( P_{1}, P_{2}^{-1} \) są macierzmi różnymi od macierzy zerowej.
Przykład (dla dwuwymiarowych przestrzeni liniowych \( V \) i \( W \))
\( P_{2}^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \ \ P_{1} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}. \)
\( M_{A}^{B}(f) = P_{2}^{-1} P_{1} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.\)
b)