Proszę o pomoc
Zadanie
Czas wykonywania pewnej operacji technicznej podlega rozkładowi normalnemu o wartości średniej m = 2 minuty i odchyleniu standardowym σ = 0,5 minuty. Oblicz prawdopodobieństwo, że czas wykonywania tej operacji jest:
a) nie dłuższy niż 3,5 minuty;
b) wynosi co najmniej 4 minuty;
c) wynosi dokładnie 3,0 minuty
Dziękuję!
Statystyka matematyczna
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1585
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 417 razy
Re: Statystyka matematyczna
Rozwiązanie
Oznaczmy przez \( T \) zmienną losową czasu wykonania pewnej operacji technicznej.
Z treści zadania zmienna losowa \( T \) ma rozkład normalny (Gaussa) \( \mathcal{N}(m, \sigma) = \mathcal{N} ( 2 \ \ min. ;\ \ 0,5 \ \ min.).\)
Funkcja gęstości zmiennej losowej \( T \) określona jest wzorem:
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f_{T}(t) = \frac{1}{0,5\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(t-2)^2}{2\cdot 0,5^2}}.\)
a)
\( P_{a} = P(\{T \leq 3,5 \ \min.\}) = \int_{-\infty}^{3,5} f_{T}(t)dt = \int_{-\infty}^{3,5} \frac{1}{0,5\cdot \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(t-2)^2}{2\cdot 0,5^2}} dt = \)
\(= \left [standaryzacja: \ \ t' = \frac{t-2}{0,5}, \ \ dt' = \frac{dt}{0,5} \right ] = \int_{-\infty}^{-\frac{3,5 -2}{0,5}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t'^2} {2}} dt' =\)
\(= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{3} e^{-\frac{t'^2}{2}}dt' = \phi_{T}(3) - \phi_{T}(-\infty) \approx 1,0 . \)
Tablice dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego
lub
Program R
b)
\( P_{b} = P(\{T \geq 4 \ \ min.\}) = \int_{4}^{\infty} f_{T}(t) dt = \int_{4}^{\infty} \frac{1}{0,5\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(t-2)^2}{2\cdot 0,5^2}}dt = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{0,5\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(t-2)^2}{2\cdot 0,5^2}}dt - \int_{-\infty}^{4} \frac{1}{0,5\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(t-2)^2}{2\cdot 0,5^2}}dt = \)
\( = 1 - \int_{-\infty}^{4} \frac{1}{0,5\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(t-2)^2}{2\cdot 0,5^2}}dt = 1 - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\frac{(4 -2)}{0,5}}e^{-\frac{t'^2}{2}}dt' = 1- \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{4} e^{-\frac{t'^2}{2}}dt' = 1 - \phi_{T}(4)+ \phi_{T}(-\infty) \approx 0,0 . \)
Tablice dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego
lub
Program R
c)
\( P(\{T = 3 \ \ min.\}) = \Lim_{t \to 3^{+}} \phi(t) - \phi(3) = 0,0. \)
Punkt \( \{T = 3 \ \ min.\} \) jest punktem ciągłości dystrybuanty \( \phi_{T}.\)
Oznaczmy przez \( T \) zmienną losową czasu wykonania pewnej operacji technicznej.
Z treści zadania zmienna losowa \( T \) ma rozkład normalny (Gaussa) \( \mathcal{N}(m, \sigma) = \mathcal{N} ( 2 \ \ min. ;\ \ 0,5 \ \ min.).\)
Funkcja gęstości zmiennej losowej \( T \) określona jest wzorem:
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f_{T}(t) = \frac{1}{0,5\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(t-2)^2}{2\cdot 0,5^2}}.\)
a)
\( P_{a} = P(\{T \leq 3,5 \ \min.\}) = \int_{-\infty}^{3,5} f_{T}(t)dt = \int_{-\infty}^{3,5} \frac{1}{0,5\cdot \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(t-2)^2}{2\cdot 0,5^2}} dt = \)
\(= \left [standaryzacja: \ \ t' = \frac{t-2}{0,5}, \ \ dt' = \frac{dt}{0,5} \right ] = \int_{-\infty}^{-\frac{3,5 -2}{0,5}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t'^2} {2}} dt' =\)
\(= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{3} e^{-\frac{t'^2}{2}}dt' = \phi_{T}(3) - \phi_{T}(-\infty) \approx 1,0 . \)
Tablice dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego
lub
Program R
Kod: Zaznacz cały
> Pa = pnorm(3.0)- pnorm(-Inf)
> Pa
[1] 0.9986501
\( P_{b} = P(\{T \geq 4 \ \ min.\}) = \int_{4}^{\infty} f_{T}(t) dt = \int_{4}^{\infty} \frac{1}{0,5\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(t-2)^2}{2\cdot 0,5^2}}dt = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{0,5\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(t-2)^2}{2\cdot 0,5^2}}dt - \int_{-\infty}^{4} \frac{1}{0,5\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(t-2)^2}{2\cdot 0,5^2}}dt = \)
\( = 1 - \int_{-\infty}^{4} \frac{1}{0,5\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(t-2)^2}{2\cdot 0,5^2}}dt = 1 - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\frac{(4 -2)}{0,5}}e^{-\frac{t'^2}{2}}dt' = 1- \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{4} e^{-\frac{t'^2}{2}}dt' = 1 - \phi_{T}(4)+ \phi_{T}(-\infty) \approx 0,0 . \)
Tablice dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego
lub
Program R
Kod: Zaznacz cały
> Pb = 1 - pnorm(4) + pnorm(-Inf)
> Pb
[1] 3.167124e-05
\( P(\{T = 3 \ \ min.\}) = \Lim_{t \to 3^{+}} \phi(t) - \phi(3) = 0,0. \)
Punkt \( \{T = 3 \ \ min.\} \) jest punktem ciągłości dystrybuanty \( \phi_{T}.\)