Prawdopodobieństwo | Podzbiory

[rone3876]

Witam,
O pewnych zdarzeniach losowych A i B, stanowiących podzbiory zbioru zdarzeń elementarnych, wiemy, że mają dodatnie prawdopodobieństwa wystąpienia oraz, że \(P(A \cup B) = 3P(A)P(B)\).

Czy gdyby zdarzenia A i B były jednakowo prawdopodobne, to maksymalna wartość prawdopodobieństwa wyniosłaby \(\frac{1}{3}\) ?
Będę wdzięczny za pomoc!

[eresh]

maksymalna wartość prawdopodobieństwa wyniosłaby \(\frac{1}{3}\) ?
Będę wdzięczny za pomoc!

Prawdopodobieństwo czego?

[rone3876]

Przepraszam, musiałem przeskoczyć fragment gdy przepisywałem zadanie z tabletu.
Chodzi o \(P(A \cap B)\).

[rone3876]

Już mam
Jeśli \(3P(A)P(B) = P(A \cup B)\), a \( P(A) = P(B) = x\), to \(P(A \cap B)\) da się opisać wzorem funkcji \(x(2-3x)\), która osiąga maksimum dla \(y \approx 0,33\). Zastanawiam się czy mogę tak to interpretować...

[eresh]

Już mam
Jeśli \(3P(A)P(B) = P(A \cup B)\), a \( P(A) = P(B) = x\), to \(P(A \cap B)\) da się opisać wzorem funkcji \(x(2-3x)\), która osiąga maksimum dla \(y \approx 0,33\). Zastanawiam się czy mogę tak to interpretować...

\(f(x)=x(2-3x)\) osiąga wartość największą dla \(x=\frac{1}{3}\)

[janusz55]

Rozwiązanie to można tak interpretować.

\( P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) \)

\( P(A\cap B) = -P(A\cup B) + P(A) + P(B) \)

\( P(A\cap B) = -3P(A)\cdot P(B) +P(A) +P(B) \)

Niech

\( P(A \cap B) = f(x), \ \ P(A) = P(B) = x. \)

\( (f(x) = -3x^2 + x + x = -3x^2 +2x = = max.lok. )\leftrightarrow (x^{*} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}).\)