forum.zadania.info

Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD (|AB| > |CD|). Wiadomo, że punkt S jest punktem przecięcia przekątnych i P_abs = P_1, P_CDS = P_2 oraz P_1 \neq P_2.

Czy pole trapezu ABCD jest równe ( \sqrt{P_1} + \sqrt{P_1})^2

mam takie rozwiązanie do tego zadania ale nie rozumiem z niego nic więc proszę o pomoc

Spoiler

i coś źle robie chyba bo pierwiastki mi się nie sformatowały xD

Dany jest trapez \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) \((|AB| > |CD|)\). Wiadomo, że punkt \(S\) jest punktem przecięcia przekątnych i \(P_{ABS} = P_1, P_{CDS} = P_2\) oraz \(P_1 \neq P_2\).

Czy pole trapezu ABCD jest równe \(( \sqrt{P_1} + \sqrt{P_1})^2\)

dobra już wiem gdzie popełniłam błąd w formatowaniu, wstawiam jeszcze raz dla czytelności

Bardzo dobre rozwiązanie ! Czego oczekujesz ?

bardziej szczegółowego rozpisania, głównie nie rozumiem skąd się wzięła zależność \( \frac{h_1}{h_2} = \frac{ \sqrt{P_1} }{ \sqrt{P_2} } \)

W trapezie trójkąty \( ASB \) i \( CSD \) są podobne.

Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa:

\( \frac{P_{1}}{P_{2}} = k^2.\)

W stosunku \( k \) pozostają do siebie odpowiednie boki trójkątów:

\( |AS| = k\cdot |SC| \) oraz \( |BS|= k\cdot |SD|. \)

Zauważmy, że trójkąty \( ASD \) oraz \( CSD \) mają tę samą , (wspólną) wysokość \( DK, \) a podstawa pierwszego z nich jest \( k-\) krotnie większa od podstawy drugiego.

Zatem pole trójkąta \( ASD \) jest równe \( P_{3} = k\cdot P_{2} \)

Podobnie trójkąty \( CSB \) i \( CSD \) mają wspólną wysokość \( CL,\) a podstawa pierwszego z nich jest \( k-\) krotnie większa od podstawy drugiego.

Zatem pole trójkąta \( CSB \ \ P_{4} = k\cdot P_{2}. \)

Pole trapezu wynosi:

\( P = P_{1}+P_{2} + P_{3} + P_{4} = P_{1} + P_{2} +kP_{2} + kP_{2} = P_{1} + 2kP_{2} + P_{2} = (\sqrt{P_{1}})^2 +2\sqrt{\frac{P_{1}}{P_{2}}}\cdot P_{2} + (\sqrt{P_{2}})^2 = (\sqrt{P_{1}})^2+ 2\sqrt{P_{1}P_{2}} + (\sqrt{P_{2}})^2 = \)
\( = (\sqrt{P_{1}} + \sqrt{P_{2}})^2.\)

Uwaga:
Równość pól trójkątów \( P_{3} = P_{4} \) otrzymana w trakcie obliczeń nie jest przypadkowa.

W trapezie \( ABCD \) trójkąty \( ASD \) oraz \( BSC \) mają równe pola. Dlaczego tak jest? Odpowiedź nie wymaga rachunków: zauważmy, że pola trójkątów \( ABD \) i \( ABC \) są równe.