Nie wykonując dzieleń wyznaczyć reszty z dzielenia

[Hermi]

Nie wykonując dzielenia wyznaczyć reszty z dzielenia wielomianu

1) \( P(x) = x^{2006} + x^{1002} − 1 ;\ Q(x) = x^4 + 1\)

2) \(P(x) = x^{444} + x^{111} + x − 1 ;\ Q(x) = (x^2 + 1)^2\)

[Jerry]

Nie wykonując dzielenia wyznaczyć reszty z dzielenia wielomianu

1) \( P(x) = x^{2006} + x^{1002} − 1 ;\ Q(x) = x^4 + 1\)

Ja bym to zrobił tak:
Dla \(t=x^2\) mamy
\[t^{1003} + t^{501} − 1=(t^2 + 1)\cdot w(t)+\color{blue}{(at+b)}\\
\begin{cases}(-i)^{1003} + (-i)^{501} − 1=0\cdot w(-i)+a\cdot(-i)+b\\i^{1003} + i^{501} − 1=0\cdot w(i)+a\cdot i+b\end{cases}\\
\begin{cases}-2i − 1=-a\cdot i+b\\2i− 1=a\cdot i+b\end{cases}\\ \begin{cases}a=2\\b=-1\end{cases}\\ \ \\
x^{2006} + x^{1002} − 1 =(x^4 + 1)\cdot w(x^2)+\color{blue}{(2x^2-1)}\]

Pozdrawiam
PS. Rachunki, jak zwykle, do sprawdzenia

[Jerry]

Nie wykonując dzielenia wyznaczyć reszty z dzielenia wielomianu

2) \(P(x) = x^{444} + x^{111} + x − 1 ;\ Q(x) = (x^2 + 1)^2\)

Ja bym to zaczął tak:
Rozpatrzmy wielomian
\[w(x)=x^{444} + x^{111} + x − 1-\color{blue}{(ax^3+bx^2+cx+d)}\]
którego podwójnymi pierwiastkami są \(-i\) oraz \(i\). Zatem:
\[\begin{cases}w(-i)=0\\w(i)=0\\w'(-i)=0\\w'(i)=0\end{cases}\]
pozostaje rozwiązać i sformułować odpowiedź

Pozdrawiam

[Hermi]

Jeśli dobrze rozumiem to w^' jest to pochodna wielomianu w(x)=x^444+... i ona też ma mi dać 0

[Jerry]

Tak! Skorzystałem z faktu:

Jeżeli \(p\) jest pierwiastkiem \(k\)-krotnym wielomianu \(w(x)\), to \(p\) jest pierwiastkiem \((k-1)\)-krotnym wielomianu \(w'(x)\).

Pozdrawiam

[Maciek32]

A czy to \(i\) oznacza jednostkę urojoną?

[Jerry]

Tak

Pozdrawiam

[Maciek32]

Dlaczego jej użyłeś, możesz wyjaśnić?

[Jerry]

Zależało mi na wykorzystaniu tw. Bezoute'a,a wielomian \(w(x)=x^2+1\) nie ma rzeczywistych pierwiastków. Ponadto jesteśmy na forum "Studia"...

Pozdrawiam

[janusz55]

Wielomian reszty, o co najwyżej jeden stopień mniejszy od wielomianu dzielnika \( Q(x) \) nie odejmujemy lecz dodajemy do wielomianu \( w(x).\)

Jednostkę urojoną \( i \) używamy, po to, by rozłożyć na czynniki wielomian \( Q(x).\)

\( Q(x) = (x^2 +1)^2 = [(x+i)(x-i)]^2 = (x-i)^2\cdot (x+i)^2.\)

[Jerry]

Wielomian reszty, o co najwyżej jeden stopień mniejszy od wielomianu dzielnika \( Q(x) \) nie odejmujemy lecz dodajemy do wielomianu \( w(x).\)

\[p(x)=w(x)+r(x)\iff w(x)=p(x)-r(x)\]
Czytaj, proszę, posty ze zrozumieniem!

Miłego dnia

[janusz55]

Dzięki za odpowiedź i Miły Dzień - wzajemnie.