Funkcja trygonometryczna

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
jasminka
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 11
Rejestracja: 24 paź 2021, 23:01
Podziękowania: 17 razy

Funkcja trygonometryczna

Post autor: jasminka »

1. Rozwiąż równanie \(\sin4x-\sin2x=4\cos^2x-3\) w przedziale \(\langle0, 2π\rangle\).

2. Wyznacz najmniejsze wartości funkcji \(f(x)=12\sin(3x)+5\cos(3x)\) oraz \(\frac{1}{|12\sin(3x)+5\cos(3x)|}\)
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3599
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 52 razy
Otrzymane podziękowania: 1975 razy

Re: Funkcja trygonometryczna

Post autor: Jerry »

jasminka pisze: 11 lis 2023, 00:05 1. Rozwiąż równanie \(sin4x-sin2x=4cos^2x-3\) w przedziale \(<0, 2π>\).
\[\sin4x-\sin2x=4\cos^2x-3\\
2\sin2x\cos2x-\sin2x=2(\cos2x+1)-3\]
Jeżeli \(\cos x=0\), to równanie nie jest spełnione, zatem niech
\[\begin{cases}\cos2x=\cfrac{1-t^2}{1+t^2}\\\sin2x=\cfrac{2t}{1+t^2}\end{cases}\, \text{, gdzie }\begin{cases}t=\tg x\\t\in\rr\end{cases}.\]
Wtedy
\[2\cdot\frac{2t}{1+t^2}\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}-\frac{2t}{1+t^2}=2\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}-1\\ \ldots\ \ldots\\ (t-1)^2(3t^2-1)=0\\
\tg =1\vee\tg x={\sqrt3\over3}\vee\tg x=-{\sqrt3\over3}\]
skąd blisko do odpowiedzi...

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3599
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 52 razy
Otrzymane podziękowania: 1975 razy

Re: Funkcja trygonometryczna

Post autor: Jerry »

jasminka pisze: 11 lis 2023, 00:05 2. Wyznacz najmniejsze wartości funkcji \(f(x)=12sin(3x)+5cos(3x)\)
\[y=f(x)=12\sin3x+5\cos3x=13\cdot\left({12\over13}\sin3x+{5\over13}\cos3x\right)\]
Istnieje kąt \(\alpha\in\left(0;{\pi\over2}\right)\) taki, że \(\begin{cases}\cos\alpha={12\over13}\\\sin\alpha={5\over13}\end{cases}\), zatem
\[y=f(x)=13\sin(3x+\alpha)\wedge x\in\rr\]
czyli
\[-13\le f(x)\le13\]
Pozdrawiam
PS. Z powyższego wynika zbiór wartości drugiej z funkji: \(\left[{1\over13};+\infty\right)\)
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1745
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 445 razy

Re: Funkcja trygonometryczna

Post autor: janusz55 »

Jeśli funkcja \( f \) określona jest wzorem \( f(x) = A \sin(mx) + B\sin(nx) \), to jej najmniejsza wartość \( f_{min} = -\sqrt{A^2+B^2},\) a wartość największa \( f_{maks} = \sqrt{A^2+B^2}.\)

\( f_{min} = -\sqrt{13^2 + 5^2} = -\sqrt{169} = -13.\)

\( f_{maks} = \sqrt{13^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13.\)
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3599
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 52 razy
Otrzymane podziękowania: 1975 razy

Re: Funkcja trygonometryczna

Post autor: Jerry »

janusz55 pisze: 11 lis 2023, 12:07 Jeśli funkcja \( f \) określona jest wzorem \( f(x) = A \sin(mx) + B\sin(nx) \), to jej najmniejsza wartość \( f_{min} = -\sqrt{A^2+B^2},\) a wartość największa \( f_{maks} = \sqrt{A^2+B^2}.\)
:shock:
Dla funkcji \(y=f(x)=3\sin3x+4\sin2x\) określonej w \(D=\rr\) mamy:
\[y_\max\approx6,659\ne5=\sqrt{3^2+4^2}\\y_\min\approx-6,659\ne-5=-\sqrt{3^2+4^2}\]
Miłego dnia
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1745
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 445 razy

Re: Funkcja trygonometryczna

Post autor: janusz55 »

\( A = 12, \ \ B=5 \ \ m=n =3. \)
anilewe_MM
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 142
Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
Podziękowania: 603 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: Funkcja trygonometryczna

Post autor: anilewe_MM »

Słyszałam, że prędzej złodziej się przyzna, że ukradł niż nauczyciel, że się pomylił :mrgreen:
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3599
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 52 razy
Otrzymane podziękowania: 1975 razy

Re: Funkcja trygonometryczna

Post autor: Jerry »

janusz55 pisze: 11 lis 2023, 16:35 \( A = 12, \ \ B=5 \ \ m=n =3. \)
Skoro mam podany wzór ogólny, mogę z niego skorzystać dla dowolnych, dobrze określonych, wartości zmiennych!
Czyli, w szczególności dla \(\begin{cases}A=3\\B=4\\m=3\\n=2\end{cases}\).
I wnioskuję, że wzór jest [autocenzura] wart!
anilewe_MM pisze: 11 lis 2023, 20:13 ... prędzej złodziej się przyzna, że ukradł niż nauczyciel, że się pomylił.
Nikt nie jest doskonały, nie mylą się tylko ci, którzy nic nie robią! Osobiście uważam, że przyznanie się do błędu buduje autorytet człowieka (w tym - nauczyciela) ... Trwanie w błędzie nic dobrego nie przynosi, ani nauczycielowi ani jego uczniom!

Pozdrawiam
PS. A dyskusyjne posty usera nic dobrego nie przyniosą dla naszemu forum!