Liczby zespolone równanie

[Pamix]

Cześć mam problem z tym zadaniem, wiem że jak pomnożymy mianownik przez sprzężenie to otrzymamy tam część rzeczywistą, jednak z tym zadaniem mam spory problem a chciałbym dobrze opanować liczby zespolone.
Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb z spełniających warunki.
\(
\Im\left(\cfrac{1+iz}{1-iz}\right) = 1
\)
Odpowiedź z książki: Okrąg o środku \((1, - i)\), promieniu \(1\)

[Jerry]

Jeśli \(z=x+iy\ne -i\), to
\[\Im\left(\frac{1+iz}{1-iz}\right)=\Im\left(\frac{i-z}{i+z}\right)=\Im\left(\frac{-x-(y-1)i}{x-(y+1)i}\right)=\ldots=\frac{2x}{x^2+(y-1)^2}\\
\Im\left(\frac{1+iz}{1-iz}\right)=1\iff \frac{2x}{x^2+(y-1)^2}=1\iff (x-1)^2+(y+1)^2=1\]
Pozdrawiam

[janusz55]

\( ... \ \ \mathcal{Jm} = \frac{2x}{x^2 + (y+1)^2} = 1.\)

Stąd

\( x^2+ (y+1)^2 = 2x, \)

\( x^2 - 2x + (y+1)^2 = 0,\)

\( (x^2 - 2x +1)-1 +(y+1)^2 = 0,\)

\( (x-1)^2 + (y+1)^2 = 1.\)

[Pamix]

Dziękuje za odpowiedź.

[janusz55]

Nie musimy mnożyć wyrażenia

\( w = \left(\frac{1+iz}{1- iz}\right) \) przez iloraz \( \frac{i}{i}.\)

Jeśli przyjmiemy \( z = x+iy \), to

\( \mathcal{Jm} \left( \frac{[1 +i(x+iy)]}{[1-i (x+iy)]}\right)= \mathcal{Jm}\left( \frac{1-y +ix}{1+y -ix} \right)= \mathcal{Jm} \left(\frac{[(1-y)+ix][(1+y)+ix]}{[(1+y)-ix][(1+y) +ix]}\right)= \mathcal{Jm} \left(\frac{(1-y)(1+y)+(1-y)ix +ix(1+y) -x^2}{(1+y)^2 +x^2}\right) = \mathcal{Jm}\left(\frac{1-y^2+ix -ixy +ix +ixy -x^2}{(1+y)^2+x^2}\right) = \)

\( = \mathcal{Jm} \left(\frac{1-(x^2+y^2)}{(1+y)^2 +x^2} + i \frac{2x}{(1+y)^2+x^2} \right) = \frac{2x}{(1+y)^2+x^2}. \)

\( \frac{2x}{(1+y^2)+x^2}= 1 \)

\( (x -1)^2 + (y+1)^2 = 1.\)