Funkcje trygnometryczne kąta ostrego.

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
mosdef21
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 94
Rejestracja: 09 mar 2023, 14:07
Podziękowania: 55 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Funkcje trygnometryczne kąta ostrego.

Post autor: mosdef21 »

Dany jest trapez prostokątny o przyprostokątnych równych kolejno 41 cm i 51 cm. Oblicz funkcje trygononetryczne kąta ostrego tym trapezie.
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3807
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 53 razy
Otrzymane podziękowania: 2054 razy

Re: Funkcje trygnometryczne kąta ostrego.

Post autor: Jerry »

mosdef21 pisze: 23 paź 2023, 10:45 Dany jest trapez prostokątny o przyprostokątnych równych kolejno 41 cm i 51 cm.
:shock:
Ja Ci nie pomogę, może podaj oryginalną treść zadania...

Pozdrawiam
mosdef21
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 94
Rejestracja: 09 mar 2023, 14:07
Podziękowania: 55 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Re: Funkcje trygnometryczne kąta ostrego.

Post autor: mosdef21 »

Miało być ... o przekątnych
Ostatnio zmieniony 23 paź 2023, 14:34 przez mosdef21, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10384 razy
Płeć:

Re: Funkcje trygnometryczne kąta ostrego.

Post autor: eresh »

mosdef21 pisze: 23 paź 2023, 13:35 Miało być ... o przyprostokątnych
A gdzie trapez ma przyprostokątne?
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
mosdef21
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 94
Rejestracja: 09 mar 2023, 14:07
Podziękowania: 55 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Re: Funkcje trygnometryczne kąta ostrego.

Post autor: mosdef21 »

eresh pisze: 23 paź 2023, 13:42
mosdef21 pisze: 23 paź 2023, 13:35 Miało być ... o przyprostokątnych
A gdzie trapez ma przyprostokątne?
Kolejny raz to samo przepraszam za to lekkie upośledzenie umysłowe już poprawiłem.
mosdef21
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 94
Rejestracja: 09 mar 2023, 14:07
Podziękowania: 55 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Re: Funkcje trygnometryczne kąta ostrego.

Post autor: mosdef21 »

Teraz może ktoś pomóc?
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3807
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 53 razy
Otrzymane podziękowania: 2054 razy

Re: Funkcje trygnometryczne kąta ostrego.

Post autor: Jerry »

Wg mnie treść zadania nie jest kompletna, jest mnóstwo takich trapezów... Rozstrzygnijmy problem jako funkcję wysokości danego trapezu:
Przy standardowych oznaczeniach, z tw. Pitagorasa mamy:
\[\begin{cases}a=\sqrt{2601-h^2}\\b=\sqrt{1681-h^2}\end{cases}\wedge 0<h<41\]
i z definicji:
\[\tg\alpha=\frac{h}{a-b}=\ldots=\frac{h\cdot(\sqrt{2601-h^2}+\sqrt{1681-h^2})}{920}\]
Do wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych blisko, ale rachunkowo - koszmarek...

Pozdrawiam
mosdef21
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 94
Rejestracja: 09 mar 2023, 14:07
Podziękowania: 55 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Re: Funkcje trygnometryczne kąta ostrego.

Post autor: mosdef21 »

Jerry pisze: 23 paź 2023, 22:37 Wg mnie treść zadania nie jest kompletna, jest mnóstwo takich trapezów... Rozstrzygnijmy problem jako funkcję wysokości danego trapezu:
Przy standardowych oznaczeniach, z tw. Pitagorasa mamy:
\[\begin{cases}a=\sqrt{2601-h^2}\\b=\sqrt{1681-h^2}\end{cases}\wedge 0<h<41\]
i z definicji:
\[\tg\alpha=\frac{h}{a-b}=\ldots=\frac{h\cdot(\sqrt{2601-h^2}+\sqrt{1681-h^2})}{920}\]
Do wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych blisko, ale rachunkowo - koszmarek...

Pozdrawiam
A jeśli przekątna jest równa 50 a nie 51 to coś zmienia?
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10384 razy
Płeć:

Re: Funkcje trygnometryczne kąta ostrego.

Post autor: eresh »

mosdef21 pisze: 24 paź 2023, 11:06
A jeśli przekątna jest równa 50 a nie 51 to coś zmienia?
wtedy \(a=\sqrt{2500-h^2}\) i tangens też się zmieni
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
mosdef21
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 94
Rejestracja: 09 mar 2023, 14:07
Podziękowania: 55 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Re: Funkcje trygnometryczne kąta ostrego.

Post autor: mosdef21 »

A jak będą wyglądały poszczególne funkcje teraz?
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3807
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 53 razy
Otrzymane podziękowania: 2054 razy

Re: Funkcje trygnometryczne kąta ostrego.

Post autor: Jerry »

mosdef21 pisze: 24 paź 2023, 15:10 A jak będą wyglądały poszczególne funkcje teraz?
Dla kąta ostrego \(\alpha\), wobec \(\begin{cases}\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\\tg\alpha={\sin\alpha\over\cos\alpha}\end{cases}\), mamy:
\[\begin{cases} \cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{1+\tg^2\alpha}}\\ \sin\alpha=\dfrac{t}{\sqrt{1+\tg^2\alpha}}\\\ctg\alpha=\dfrac{1}{\tg\alpha}\end{cases}\]
Pozdrawiam
PS. Sprawdziłeś oryginalność treści zadania?
mosdef21
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 94
Rejestracja: 09 mar 2023, 14:07
Podziękowania: 55 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Re: Funkcje trygnometryczne kąta ostrego.

Post autor: mosdef21 »

To na zasadzie przypomnienia ze sprawdzianu. A masz jakiś pomysł jakie mogło być poprawne polecenie ale myślę że sens pytania jest zachowany.
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10384 razy
Płeć:

Re: Funkcje trygnometryczne kąta ostrego.

Post autor: eresh »

mosdef21 pisze: 25 paź 2023, 10:46 To na zasadzie przypomnienia ze sprawdzianu. A masz jakiś pomysł jakie mogło być poprawne polecenie ale myślę że sens pytania jest zachowany.
Może była podana wysokość tego trapezu?
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
anilewe_MM
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 142
Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
Podziękowania: 603 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: Funkcje trygnometryczne kąta ostrego.

Post autor: anilewe_MM »

A gdyby w ten trapez można by było wpisać okrąg?
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3807
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 53 razy
Otrzymane podziękowania: 2054 razy

Re: Funkcje trygnometryczne kąta ostrego.

Post autor: Jerry »

Wróżenie z fusów się rozwija...
anilewe_MM pisze: 28 paź 2023, 21:05 A gdyby w ten trapez można by było wpisać okrąg?
To by bardzo ułatwiło część planimetryczną zadania...

Zróbmy schludny rysunek i zauważmy, że przy powyższych oznaczeniach mamy:
\[\begin{cases}h=2r\\a=r+r\ctg{\alpha\over2}\\b=r+r\tg{\alpha\over2}\end{cases}\]
gdzie \(r>0\) jest promieniem okręgu wpisanego a \(\alpha\) kątem ostrym trapezu. Pozostaje rozwiązać równanie:
\[\frac{h^2+a^2}{h^2+b^2}=\frac{51^2}{41^2}\iff\frac{4+\left(1+{1\over t}\right)^2}{4+(1+t)^2}=\frac{51^2}{41^2}\]
gdzie \(0<t=\tg{\alpha\over2}\). I tu niestety jest gorzej... Wg wolframa:
\[t\approx0,65247\]
Pozostaje doliczyć:
\[\begin{cases}\tg\alpha=\frac{2t}{1-t^2}\approx\ldots\\\sin\alpha=\frac{2t}{1+t^2}\approx\ldots\\\cos\alpha=\frac{1-t^2}{1+t^2}\approx\ldots\end{cases}\]
Pozdrawiam
PS. Gdyby dopasować długości przekątnych... np. dla \(2\sqrt{13}\) i \( 5\) mamy \(t=0,5\)
ODPOWIEDZ