POMOCY TYPY ZBIORY RELACJE

[reilp]

Niech zapis k | n oznacza, że n jest naturalną wielokrotnością k, tzn.
k | n ⇐⇒ ∃m ∈ N n = mk.
Niech P ∈ P(N) oznacza zbiór wszystkich liczb pierwszych, tj.
P = {p ∈ N | p > 1 ∧ ∀n ∈ N(n | p → n ∈ {1, p})}.
Rozstrzygnij, które z poniższych zdań są prawdziwe, a które fałszywe:
(a) ∀p ∈ P ∃n ∈ N (2p − 2 | n^p − n ∧ n > 2);
(b) ∃p ∈ P ∀n ∈ N (2p − 2 | n^p − n);
(c) ∀p ∈ P ∀n ∈ N (2p − 2 | n^p − n).

Wykaż, że jeśli An ⊆ An+1 dla wszystkich n ∈ N, to
\cup n \in N An = \cup n \in H An,
dla dowolnego nieskończonego H ⊆ N.

Czy teza pozostanie prawdziwa jeśli (wszystkie trzy) N powyżej zamienimy na Z?

[Jerry]

Rozstrzygnij, które z poniższych zdań są prawdziwe, a które fałszywe:
(a) ∀p ∈ P ∃n ∈ N (2p − 2 | n^p − n ∧ n > 2);
(b) ∃p ∈ P ∀n ∈ N (2p − 2 | n^p − n);
(c) ∀p ∈ P ∀n ∈ N (2p − 2 | n^p − n).

(a) prawda, bo wystarczy \(n=4p-4\),

(b) prawda, bo \(p=2\So \forall _{n\in\nn}\, 2\cdot2-2=2\mid n(n-1)=(n^2-n)\),

(c) fałsz, bo np. \(\begin{cases}p=3\\n=2\end{cases}\So 2\cdot3-2=4\nmid 6=2^3-2\).

Pozdrawiam
PS. Kod \(\LaTeX\) nie jest tak skomplikowany...