Permutacje w zbiorze Y

[bigzakolak]

Y = { 1, 2, . . . , 10 }. Ile jest permutacji zbioru Y takich, że ( po wykonaniu permutacji)
każdy z elementów 2, 5, 7 zmieni swoją pozycję?

[Jerry]

Przeanalizuj, proszę, propozycję:
\[{10\choose3}\cdot3\cdot1\]
bo wybieram pozycje dla wyróżnionych, permutuję wyróżnione tak, aby każda zmieniła pozycję a pozostałe traktuję jak nierozróżnialne.

Pozdrawiam

[bigzakolak]

Mógłbyś bardziej szczegółową rozwinąć swoją myśl ? Bo miałem też taki pomysł, że wszystkich permutacji jest 10! bo mamy dziesięć elementów, więc od wszystkich permutacji odejmijmy sytuacje, kiedy wszystkie elementy 2, 5 i 7 pozostają na tych samych miejscach. Czyli będzie jedno takie zdarzenie, kiedy 2 przechodzi na 2, 5 na 5 a 7 na 7 a pozostałych permutacji będzie 7! bo tyle elementów zostanie. I wtedy byśmy zrobili 10! - 7! ma to sens ?

[Jerry]

Mógłbyś bardziej szczegółową rozwinąć swoją myśl ?

Trudno jest doprecyzować to, co napisałem, ale spróbuje ...

• Wyróżnione są trzy elementy: \(2,\ 5,\ 7\). Pozostałe są dla nas mało istotne, bo każda ich permutacja jest liczona jednokrotnie przy ustalonym porządku (niekoniecznie obok siebie) elementów wyróżnionych,
• ważne są pozycje dla wyróżnionych elementów - stąd kombinacje \(3\)-elementowe ze zbioru \(10\)-elementowego pozycji,
• na tych pozycjach jest teoretycznie \(3!\) porządków wyróżnionych elementów, ale każdy z wyróżnionych elementów może być na pierwszej, drugiej albo trzeciej pozycji!

Stąd moja odpowiedź.

...I wtedy byśmy zrobili \(10! - 7!\) ma to sens ?

Wg mnie - nie! Nie widać możliwości/konieczności zastosowania reguły dodawania!

Pozdrawiam