Funkcje wielu zmiennych - Wyznacz

[Maliss]

Wyznacz dziedzinę, poziomice oraz zbiór wartości następującej funkcji:
\(f(x, y) = \sqrt{4-x^2-(y+1)^2} \)

[Jerry]

\(D_f=\{(x,y)\in\rr^2;4-x^2-(y+1)^2\ge0\}=\{(x,y)\in\rr^2;x^2+(y+1)^2\le2^2\}\)
czyli jest to koło o środku \(S(0,-1,0)\) i promieniu \(r=2\).

Niech \(z\in D^{-1}_f\) i \(f(x,y)=z\). Wtedy
\(\sqrt{4-x^2-(y+1)^2}=z\)
Dla \(z\ge0\) mamy
\(4-x^2-(y+1)^2=z^2\\
x^2+(y+1)^2=4-z^2\)
Dla \(z\in[0;2)\) poziomicą jest okrąg o środku \(S_z(0,-1,z)\) i promieniu \(r_z=\sqrt{4-z^2}\), dla \(z=2\) - punkt o współrzędnych \((0,-1,2)\).

Z powyższych rachunków wynika, że \(D^{-1}_f=[0;2]\)

Pozdrawiam
PS. Wykresem danej funkcji jest "górna" czasza sfery o środku \(S(0,-1,0)\) i promieniu \(r=2\)

[Maliss]

Poziomicy z nie sprawdzamy poniżej 0 ze względu na dziedzinę tak?

[Jerry]

Poziomicy z nie sprawdzamy poniżej 0 ze względu na dziedzinę tak?

Nie do końca...
Pierwiastkiem arytmetycznym z danej liczby nieujemnej jest taka liczba nieujemna...
zatem dla \(z<0\) równość
\(\sqrt{4-x^2-(y+1)^2}=z\)
byłaby sprzeczna!

Pozdrawiam