Kąt między cięciwami

[bodsaw]

Dochodzę do zależności: \(\sin^2\alpha+\sin^2\beta=1\) (\(\alpha,\beta\) - kąty ostre trójkąta) i nie wiem co dalej.

[bodsaw]

Pełny tekst:

W okręgu o promieniu długości \(R\) cięciwy \(AB\) i \(CD\) przecinają się w punkcie \(P.\) Oblicz miarę kąta
między tymi cięciwami jeśli wiadomo ze \(|AC|^2+|BD|^2=4R^2\)

[anka]

Ma, te średnice będą prostopadłe.

[Jerry]

Dochodzę do zależności: \(\sin^2\alpha+\sin^2\beta=1\) (\(\alpha,\beta\) - kąty ostre trójkąta)...

Równość ta jest równoważna kolejno:
\[\sin^2\alpha-\cos^2\beta=0\\
\sin^2\alpha-\sin^2(90^\circ-\beta)=0\\
(\sin\alpha-\sin(90^\circ-\beta))(\sin\alpha+\sin(90^\circ-\beta))=0\\
2\sin\dfrac{\alpha-90^\circ+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha+90^\circ-\beta}{2}\cdot2\sin\dfrac{\alpha+90^\circ-\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-90^\circ+\beta}{2}=0\\
\sin(\alpha-90^\circ+\beta)\sin(\alpha+90^\circ-\beta)=0\\
\sin(\alpha-90^\circ+\beta)=0\vee\sin(\alpha+90^\circ-\beta)=0\]
Dla \(\alpha,\ \beta\) kątów trójkąta może zajść tylko
\[\sin(\alpha-90^\circ+\beta)=0\\\alpha-90^\circ+\beta=0^\circ\\ \alpha+\beta=90^\circ\]
zatem rozpatrywany trójkąt jest prostokątny i cięciwy są, jak napisała anka, prostopadłe

Pozdrawiam
PS. Poprzedni mój post, oparty na niepoprawnym rysunku - usunąłem

[kerajs]

Dochodzę do zależności: \(\sin^2\alpha+\sin^2\beta=1\) (\(\alpha,\beta\) - kąty ostre trójkąta) i nie wiem co dalej.

Dla kątów ostrych:
Skoro \(\sin^2\alpha+\sin^2\beta=1\) oraz \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) to \(\cos \alpha= \sin \beta\) , więc \(\alpha+\beta=90^o\)

[anilewe_MM]

Zrobiłam rysunek, ale nie wiem gdzie narysować te kąty i skąd ta zależność

[Jerry]

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

Z \(\Delta DBC,\ \Delta ABC\) i tw. Snelliusa (wzór sinusów) mamy:
\(\begin{cases}|BD|=2R\sin\alpha\\|AC|=2R\sin\beta\end{cases}\).
Wstawione do założenia daje omawianą zależność...

Pozdrawiam